Probabilidad de obtener una secuencia binaria de longitud $M+N$ donde primero $r$ Los dígitos contienen $k$ $1$ 's

Question

Una cadena binaria que contiene $M$ $0$ y $N$ $1$ (en un orden arbitrario, en el que todos los ordenamientos tienen la misma probabilidad) se envía a través de una red. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer $r$ bits contienen exactamente $k$ $1$ 's?

Mi intento: Estoy tratando de encontrar el número de cadenas que contienen $k$ $1$ y $(r-k)$ $0$ 's entre los primeros $r$ bits. Suponiendo que el primer $r$ dígitos ya tienen $k$ $1$ y $(r-k)$ $0$ 's, la forma de ordenarlos sería $\frac{r!}{k!\ (r-k)!}$ . Correspondiendo a cada uno de ellos, los dígitos restantes pueden disponerse en $\frac{(M+N-r)!}{(N-k)!\ (M-r+k)!}$ formas. Por tanto, el número total de cadenas binarias sería $$\frac{(M+N-r)!\ r!}{(N-k)!\ (M-r+k)!\ k!\ (r-k)!}$$

Esto se puede dividir por $\frac{(M+N)!}{M!\ N!}$ para obtener la respuesta.

¿Es correcta la respuesta? ¿Existe un enfoque alternativo?

Answer 1

Sí, existe un enfoque alternativo.
Supongamos que tenemos una bolsa con $M$ ceros y $N$ La cadena binaria se elige tomando al azar uno de los elementos de la bolsa y añadiéndolo a la cadena. No es difícil ver que cada cadena válida se genera con probabilidad $\binom{M+N}{N}^{-1}$
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que entre los primeros $r$ bits, tenemos exactamente $k$ ¿Unos?
$$p=\frac{N(N-1)...(N-k+1)\bullet M(M-1)...(M-r+k+1)}{(N+M)(N+M-1)...(N+M-r+1)}\bullet \binom{r}{k}=\frac{M! N! (N+M-r)! r!}{(N-k)!(M-r+k)! (N+M)! k! (r-k)!}$$
Qué te parece, tenemos la misma respuesta :)