Un problema de valores propios generalizado

Question

Al problema generalizado de valores propios le gusta esto:

$\begin{pmatrix} 0 & C_{12}\\ C_{21} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_1\\ \xi_2 \end{pmatrix}=\rho\begin{pmatrix} C_{11} & 0\\ 0 & C_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi_1\\ \xi_2 \end{pmatrix}$ ,

donde $\xi_1$ y $\xi_2$ tienen $p_1$ y $p_2$ respectivamente. Este problema tiene $p_1+p_2$ valores propios: $\{\rho_1, -\rho_1, ..., \rho_p, -\rho_p, 0,...., 0\}$ donde $p=min\{p_1, p_2\}$ .

¿Podría alguien ayudarme a probar ambos $\rho_i$ y $-\rho_i$ ¿Cuáles son los valores propios y cuáles son sus rangos? Demuestre también $p=min\{p_1, p_2\}$ ? Gracias de antemano:)

Answer 1

Considera el problema de GE $Ax=\lambda Bx$ . Entonces los valores propios son las raíces en $\lambda$ de $\det(A-\lambda B)=0$ .

Aquí $\det(A-\lambda B)=Q(\lambda)=\det(\begin{pmatrix}-\lambda C_{11}&C_{12}\\C_{21}&-\lambda C_{22}\end{pmatrix}$ .

$Q$ es un polinomio de grado $p_1+p_2$ que tiene la misma paridad que $p_1+p_2$ . Desde $rank(A)\leq 2p$ hay como máximo $2p$ raíces distintas de cero de $Q$ y los valores propios son de la forma $\rho_1,-\rho_1,\cdots,\rho_p,-\rho_p$ .