Pregunta sobre la parte 3 del problema de Star Trek en Williams, Probabilidad con Martingales

Question

Considere esta pregunta M.SE que es E12.3 en Williams. La respuesta de Robert Israel (y Xoff) parece dar un límite exponencial en $R_n$ casi seguro. ¿No implicaría esto la convergencia de $$\sum R_n^{-1},$$ que es significativamente más fuerte que lo que el problema pide demostrar, que es la convergencia de $$\sum R_n^{-2}?$$

Me gustaría confirmar que este resultado más contundente es realmente cierto y que no me estoy perdiendo nada.

Answer 1

La posición del barco tras $n$ saltos espaciales es ${}^*$ $X_{n} = X_{n-1} + R_{n-1} U_n$ donde el vector $V_n$ es independiente de $X_1,\dots,X_{n-1}$ y distribuidos uniformemente en la esfera unitaria $S_1$ . Así que $R_n = R_{n-1}|e_{n-1}+V_n|$ donde $e_{n-1}$ es un vector unitario en la dirección de $X_{n-1}$ . Entonces, claramente, $R_n= R_{n-2}|e+U_{n-1}||e+U_n| = R\prod_{k=1}^n |e+U_k|,$ donde $e$ es un vector unitario fijo, y $U_1,U_2,\dots,U_k$ son independientes y se distribuyen uniformemente en $S_1$ . Para estudiar el comportamiento asintótico de $R_n$ es más fácil considerar su logaritmo: $$ \log R_n = \log R + \sum_{k=1}^n \log |e+U_k|. $$ Esta última suma está formada por variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas. Por lo tanto, en vista de la fuerte ley de los grandes números, $$ \frac1n \log R_n \to E[\log |e+U_1|], n\to\infty,\tag{1} $$ casi seguro. Ahora $$ E[\log |e+U_1|] = \frac{1}{4\pi}\int_{S_1} \log|e+v| d\sigma(v); $$ tomando $e = (0,0,-1)$ y parametrizando $S_1$ por $v = (\cos \varphi \sin \theta, \sin\varphi \sin \theta, \cos\theta)$ obtenemos $|e+v| = \sqrt{\sin^2\theta + (\cos\theta-1)^2} = \sqrt{2-2\cos\theta}$ de donde $$ E[\log |e+U_1|] = \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \frac12 \sin\theta\log(2-2\cos\theta)d\theta\,d\varphi \\ = \frac14 \int_{-1}^1 \log(2+2x)dx = \log 2 - \frac12>0. $$ Por lo tanto, en vista de (1), para cualquier $c\in(0,\log2-1/2)$ , $\log R_n> cn$ eventualmente con probabilidad 1, equivalentemente, $R_n> e^{cn}$ . Por lo tanto, la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{R_n}$ converge casi con seguridad.