Interpretación de $f(n) \in o(n)$

Question

Supongamos que alguna función $f(n)$ está en $o(n)$ . ¿Es fomalmente correcto decir que existe un $N$ tal que para todo $n \ge N$ sostiene que $$f(n) \le \frac{c n}{g(n)}$$ donde $c>0$ es una constante y $g(n)$ es una función estrictamente creciente de $n$ ? Mi razonamiento es que $f(n) \in o(n)$ implica que $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{n} = 0$ por lo que lo anterior se deduce directamente de $f(n) \in o(n)$ ¿verdad?

Answer 1

Puede reformular su pregunta como: ¿es cierto que si $f(n)\to 0$ entonces existe una función creciente $g(n)$ tal que para $n$ suficientemente grande $f(n)\leq c/g(n)$ ? Creo que la respuesta a esta pregunta es positiva. Como ha señalado Yury, debería bastar con tomar $$g(n)=h(n)\text{inf}\left\{\frac{1}{f(k)},k\geq n\right\}$$ donde $h(n)$ es cualquier función positiva creciente menor que uno.