Demostración de un límite utilizando la definición formal

Question

Me han encargado que demuestre lo siguiente:

$$\lim_{x \to 0}\frac{3x+2}{4x^2} = \infty$$

utilizando el $(\epsilon,\delta)-$ definición de límite.

Sé que podemos decir:

$$\lim_{x \to a}f(x) = \infty$$

Si

$\forall K>0,\, \exists\delta > 0$ tal que $|f(x)| > K$ cuando $|x-a| < \delta$ .

He intentado enfocar este problema como tal:

Dado $K >0,\,$ debemos encontrar un $\delta > 0,\,$ tal que

$|f(x)| = |\frac{3x + 2}{4x^2}| > K$ cuando $|x-a| = |x| < \delta$ .

Así que..,

$|3x+2| > K|4x^2| \implies |3x+2| > 4Kx^2 \implies x^2 < \frac{|3x+2|}{4K}$ .

Ahora para aislar $x,\,$ elegimos $|x| < \frac{1}{3} \implies 1 < 3x+2 < 3$ .

Por lo tanto,

$x^2 < \frac{|3x+2|}{4K} < \frac{3}{4K} \implies |x| < \frac{3}{4K}$

lo que significa que debemos satisfacer tanto $|x| < \frac{3}{4K}$ y $|x| < \frac{1}{3}$ .

Por lo tanto, debemos elegir $\delta = \min(\frac{1}{3},\frac{3}{4K})$ .

¿Es suficiente para demostrar este límite?

Answer 1

Cerrar.

$x^2 < \frac {3}{4K}$ y $3x + 2 < 3$ no significa $x^2 < \frac {|3x +2|}{4K}$ .

Pero $x^2 < \frac {1}{4k}$ y $1 < 3x+2$ significa que $x^2 < \frac {|3x +2|}{4K}$ .

Quieres $x^2 \le \frac 1{4K} < \frac {|3x +2|}{4K}$

Y entonces quieres la raíz cuadrada de $\frac 1{4K}$ y eligió $\delta = \sqrt{\frac 1{4K}}$ .

Pero en mi opinión realmente no me gusta este trabajo hacia atrás y encontrar $\delta$ pruebas. Siempre sospecho que el alumno no entiende el concepto y está intentando reproducir reglas que no comprende.

Si se dice y el principio "Por lo tanto será suficiente para demostrar tal delta existe, por encontrar un delta posible" sería aceptable.

Pero creo que todo esto de encontrar el delta debería hacerse en papel de borrador antes de ni siquiera empezar la prueba. Una vez calculado el delta, se inicia el "borrador final" de la prueba:

.......

Para cualquier $K$ deje $\delta = \min (\frac 13, \sqrt{\frac 1{4K}})$ .

Entonces, siempre que $|x| < \delta$ entonces $1 < 3x +2 < 3$ . También disponemos de $x^2< \frac 1{4K} < \frac {3x + 2}{4K}$ .

Así que $K < \frac {3x+2}{x^2}$

Así que $\lim\limits_{x\to 0} \frac {3x+2}{x^2} = \infty$ .

......

P.D.

Sé que podemos decir:

limx→af(x)=∞

Si

∀K>0,∃δ>0 tal que |f(x)|>K cuando |x-a|<δ.

No del todo. En realidad sólo quieres $f(x) > K$ . No $|f(x)| > K$ .