Cómo demostrarlo: $f(A\cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ y algunos otros

Question

Avec $f:X \rightarrow Y; A, B \subseteq X; C, D \subseteq Y$ me dan estas identidades:

1. $f(A\cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$

2. $f(A\setminus B) \subseteq f(A) \setminus f(B)$

3. $f^{-1}(C\cap D) \subseteq f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$

4. $A \subseteq f^{-1}(f(A))$

5. $f^{-1}(f^{-1}(C)) = C \cap f(X) \subseteq C$

Esto es lo que tengo que hacer:
a)Encuentra ejemplos de funciones y conjuntos no vacíos A, B para los que 1. y/o 2. no son iguales (es decir, son $\subset$ pero no $=$ )
Creo que este es el caso de cualquier función no inyectiva para la que $a \neq b$ pero $f(a) = f(b)$ como $f(x) = |x|$ con $a = 1$ y $b=-1$ . Me gustaría escuchar más ejemplos de funciones como ésta.

b)Aquí necesito encontrar lo mismo que en a) pero para las identidades 4 y 5, sin embargo no estoy seguro ni siquiera de qué buscar.

c) Demuestra 1 ó 2 y 3 ó 4.
Aquí está mi intento no tan exitoso de probar 1:

$f(A \cap B) = \{y \in Y : y = f(x) \wedge x \in A \cap B\} = \{y \in Y : y = f(x) \wedge (x \in A \wedge x \in B)\} = \{y \in Y : (y = f(x) \wedge x \in A) \wedge (y = f(x) \wedge x \in B)\} = \{y \in Y : y = f(x) \wedge x \in A\} \cap \{y \in Y : y = f(x) \wedge x \in B\} = f(A) \cap f(B)$

E hice una "prueba" análoga para 2, sin embargo, obviamente no es correcta ya que me sale que $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ en lugar de $\subseteq$ . Y por la segunda parte de c) (es decir, 3 y 4), no sé ni por dónde empezar.

Cualquier ayuda para resolver a) b) y c) es muy apreciada.

Answer 1

1): $A\cap B\subseteq A\Rightarrow f\left(A\cap B\right)\subseteq f\left(A\right)$ y $A\cap B\subseteq B\Rightarrow f\left(A\cap B\right)\subseteq f\left(B\right)$ . Consecuencia: $$f\left(A\cap B\right)\subseteq f\left(A\right)\cap f\left(B\right)$$

2) no es cierto: deje $f$ sea una función constante y $A\backslash B\neq\emptyset\wedge B\neq\emptyset$ . Entonces $f\left(A\backslash B\right)\neq\emptyset$ y $f\left(A\right)\backslash f\left(B\right)=\emptyset$

3): $$x\in f^{-1}\left(C\cap D\right)\iff f\left(x\right)\in C\cap D\iff$$$$ f\left(x\right)\in C\wedge f\left(x\right)\in D\iff x\in f^{-1}\left(C\right)\cap f^{-1}\left(D\right)$$

4): $$x\in A\Rightarrow f\left(x\right)\in f\left(A\right)$$ combinado con: $$f\left(x\right)\in f\left(A\right)\iff x\in f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)$$

Ajustado 5): Por demostrar es probablemente $f\left(f^{-1}\left(C\right)\right)=C\cap f\left(X\right)$

(la notación $f^{-1}\left(f^{-1}\left(C\right)\right)$ no hace sentido).

$$y\in f\left(f^{-1}\left(C\right)\right)\iff y=f\left(x\right)\text{ for some }x\in f^{-1}\left(C\right)\iff y\in C\cap f\left(X\right)$$

Answer 2

Para a), consideremos la función $f(x) = x^2 $ y poner $A = [-1,0) $ y $B = (0,1] $ entonces

$$ A \cap B = \varnothing \implies f( A \cap B ) = \varnothing $$

pero, $f(A) = f(B) = (0,1] $ Por lo tanto

$$ f(A) \cap f(B) = (0,1] $$

Answer 3

Mostrar $X\subseteq Y$ a menudo es más fácil demostrar que $x\in X\implies x\in Y$ . Por ejemplo, si $x\in f(A\cap B)$ entonces $x=f(y)$ para algunos $y\in A\cap B$ . Entonces $y \in A$ Así que $x\in f(A)$ y del mismo modo $x\in f(B)$ . Por lo tanto, $x\in f(A)\cap f(B)$ .