Integral indefinida

Question

Así que actualmente estoy tratando de resolver

$$\int \sqrt{ 1+\frac{1}{3x} } \, \, dx$$

Sé que esto también se puede representar como ((x+1/3)/x)^1/2 pero no me gusta esa forma. También sé que esto se puede hacer con la sustitución. He hecho muchas cosas pero siempre me atasco. No es necesario que me resuelvas el problema, solo indícame la dirección correcta si quieres y lo terminaré yo mismo.

Escribiré mi primera impresión. Procedo a elegir $u = x + \frac{1}{3x^{2}}$

así que $du =1 -1/3x^{2} dx$

Así que termino con $\int \sqrt{u} \, \, \, du -3x^{2}$

Estoy seguro de que esto está mal, pero no sé por qué. ¿Quizá no fue acertado elegir u como raíz cuadrada entera? Lo hice así porque la integral inmediata de x^1/2 es fácil. ¿He hecho algo mal? ¿O puedo continuar desde aquí? Si es así, ¿cómo?

Muchas gracias. =)

Answer 1

$$\int \sqrt{ 1+\frac{1}{3x} } \, \, dx$$ deje $u^2=3x \implies 2u\ du = 3\ dx$ $$\frac{2}{3}\int \sqrt{ 1+\frac{1}{u^2} } \, \, u\ du$$ $$\frac{2}{3}\int \sqrt{ u^2+1 } \, \, du$$ ahora puede utilizar $u = \sinh(t)$

Answer 2

Le sugiero que establezca $u = 3x$ pero antes de eso, haz algo con la suma bajo la raíz. A continuación, utilice una técnica de integración bastante elemental.

Answer 3

Como sugiere busman, puede ser una buena idea dejar que $u=3x$ . Las constantes que hay que arrastrar son entonces menos molestas. Así, aparte de un factor constante, queremos $$\int\sqrt{1+\frac{1}{u}}\,du.$$ Ahora sugeriría dejar $w^2=1+\dfrac{1}{u}$ . Entonces $$2w\,dw=-\frac{du}{u^2}=-(w^2-1)^2 \,du.$$ Acabamos teniendo que encontrar algo como $$\int-\frac{2w^2\,dw}{(w^2-1)^2}.$$ Este es un problema de fracciones parciales no del todo agradable.

Answer 4

El problema parece ser el radical. No estoy seguro de establecer $u$ igual a todo bajo el radical parece prometedor, ya que todavía necesita un $du$ . Sin embargo, hay más de una forma de deshacerse de un radical.

Si te sientes cómodo con las funciones hiperbólicas, deja que $\frac1{3x}=\sinh^2 u,x=\frac13\operatorname{csch}^2u$ . A mí nunca me los enseñaron y optaría por una sustitución trigonométrica similar. $\frac1{3x}=\tan^2u,x=\frac13\cot^2u,dx=-\frac23\cot u\csc^2udu$ .