El número de $n \leq x$ compuesto utilizando sólo los primos dados $p_1, p_2, ... p_k$ como $x \rightarrow \infty$ satisface $$ \frac {\log^k x} {k! \prod_1^k p_j} + O \left ( \log^{k-1} x \right ) . $$ Estoy buscando las referencias de este resultado. Gracias, AndreyF
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Gary Barrett
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Como comentó Mikhail Tikhomirov, el denominador debería tener $\log$ de $p_j$ en lugar de $p_j$ sí mismo.
Para una referencia, véase el teorema 5.3 y, más en general, la sección 2 (`El método geométrico') del capítulo 5 de la parte III del libro de G. Tenenbaum ``Introduction to analytic and probabilistic number theory''. Esta sección se encuentra en las páginas 516-517.
Si dejamos que $$N_k(x):=\left| \left\{ (\nu_1,\ldots,\nu_k) \in \mathbb{N}^k: \sum_{1 \le j \le k} \nu_j a_j \le x\right\} \right|$$ para un valor positivo dado $a_j$ el teorema establece que $$\frac{x^k}{k!}\prod_{1\le j\le k}\frac{1}{a_j} \le N_k(x)\le \frac{(x+\sum_{1 \le j \le k}a_j)^k}{k!}\prod_{1\le j\le k}\frac{1}{a_j} .$$ Ahora aplique esto con $a_j = \log p_j$ . Esto responde a tu pregunta, porque cuentas soluciones a $\prod_{1 \le j \le k} p_j^{\nu_j} \le x$ que (al tomar logaritmos naturales) vemos que es una cantidad igual a $N_k(x)$ . Esto está directamente relacionado con el trabajo de V. Ennola sobre $y$ -friables (es decir, suaves), que se menciona en la sección antes citada. Podría ser que su resultado esté en el artículo de Ennola `` On numbers with small prime divisors'' (Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I 440, 16 p. (1969)), pero no he podido conseguirlo.
