Probar una desigualdad estricta en el límite

Question

Quiero demostrar que $$ \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left(1 + \frac{1}{4} \right)...\left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) < e .$$

Utilización de la $AM-GM$ desigualdad llegamos a $$\left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left(1 + \frac{1}{4} \right)...\left( 1 + \frac{1}{2^k} \right) < \left(\frac{k + 1 - \frac{1}{2^k} }{k} \right)^k = \left( 1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k2^{k}}\right)^k < \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k < e.$$

La primera desigualdad es estricta porque los términos son diferentes, pero sé que en el límite las desigualdades estrictas pueden transformarse en igualdades. Como el límite de $\left( 1 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k2^{k}}\right)^k$ cuando $k$ va al infinito es también $e$ ¿cómo podría demostrar una desigualdad estricta?

Answer 1

$$ \sum_{k\geq 1}\log\left(1+\frac{1}{2^k}\right)<\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}=1,$$ y luego exponenciamos ambos lados. También existe un refuerzo simple, a saber

$$ \sum_{k\geq 1}\log\left(1+\frac{1}{2^k}\right)<\sum_{k\geq 1}\left(\frac{1}{2^k}-\frac{1-\log 2}{4^k}\right)=\frac{2+\log 2}{3},$$ que conduce a $$ \prod_{k\geq 1}\left(1+\frac{1}{2^k}\right) < 2^{1/3}e^{2/3}.$$ $ \prod_{k\geq 1}\left(1+\frac{1}{2^k}\right) <\frac{31}{13}$ es una desigualdad más difícil.

Answer 2

Puedes ignorar el primer término y continuar con tu método a partir de $i=2$ .

Entonces usted consigue $\prod\limits_{i=2}^ka_i\le\cdots\le\left(1+\dfrac 1{2(k-1)}\right)^{k-1}\le e^{0.5}$

Y entonces $\prod\limits_{i=1}^\infty a_i=\left(1+\dfrac 12\right)\prod\limits_{i=2}^\infty a_i\le 1.5\,e^{0.5}<e$