¿Es cierto o falso que $\lvert P([0, 1]) \setminus P((0, 1)) \rvert > \lvert P(\mathbb{N}) \rvert$

Question

¿Es cierto o falso que $\lvert P([0, 1]) \setminus P((0, 1)) \rvert > \lvert P(\mathbb{N}) \rvert$ ?

Necesito una pista porque no veo la manera de resolver esto

Answer 1

Creo que es verdad: $|P([0,1])|\ge |P([0,1]) \setminus P((0,1))|=|{0}\cup P((0,1))|+|{1}\cup P((0,1))|\ge|P((0,1))|$ ya que esos dos cardinales son ambos iguales a $|P((0,1))|$ (por ${0}\cup P((0,1)$ Me refiero al conjunto $\{{0}\cup A;A\in P((0,1))\}$ y lo mismo para el otro). No debería ser demasiado difícil ver que $|P((0,1))|=P([0,1])$ para que de hecho $|P([0,1]) \setminus P((0,1))|=|P([0,1])|=|P((0,1))|$ .

También tenemos $|P(\mathbb{N})|=|(0,1)|<|P([0,1])|$ .

Answer 2

Obsérvese que se trata de una inyección $$ \mathcal P((0,1)) \to \mathcal P([0,1]) \setminus \mathcal P( (0,1)), X \mapsto X \cup \{0\}. $$

Por lo tanto $\operatorname{card}(\mathcal P([0,1]) \setminus \mathcal P( (0,1))) = \operatorname{card}{(\mathcal P((0,1)))} = \operatorname{card}(\mathcal P(\mathbb R)) = 2^{2^{\aleph_0}} > 2^{\aleph_0} = \operatorname{card}(\mathbb R) = \operatorname{card}(\mathcal P(\mathbb N))$ .