He estado trabajando en el capítulo 6: Familias planas del libro de Eisenbud Álgebra conmutativa: Con vistas a la geometría algebraica y me he atascado en el Ejercicio 6.6, que trata de la familia de curvas del plano proyectivo. La pregunta es la siguiente (con algunas paráfrasis para abreviar):
Considere $k\mathbb{P^3}$ y fijar un grado $d$ . Para cada multiíndice $\alpha = (a_0,a_1,a_2)$ avec $a_0+a_1+a_2 = d$ deje $x_\alpha$ ser un indeterminado. Establecer $R = k[\{x_\alpha\}]$ y que $S$ sea el $R$ -álgebra: $$ S = \frac{R[y_0,y_1,y_2]}{\left(\sum_\alpha x_\alpha y_0^{a_0}y_1^{a_1}y_2^{a_2}\right)}.$$ Demuéstralo:
$(a)$ si invertimos cualquier $x_\alpha$ entonces la familia se vuelve plana. Es decir, la $R[x_\alpha^{-1}]$ -álgebra $S[x_\alpha^{-1}]$ es plano, demostrando que es un módulo libre (no está finitamente generado).
$(b)$ $S$ es un dominio integral, y además que contiene a $R$ por lo que es libre de torsión como a $R$ -módulo.
$(c)$ $S$ en realidad no es plana sobre $R$ demostrando y utilizando los dos hechos siguientes:
Si $S$ es un módulo plano sobre un anillo $R$ y $R \to T$ es cualquier mapa de anillos, entonces $S\otimes_R T$ es plana sobre $T$ .
Existe un mapa de anillos $R = k[\{x_\alpha\}] \to k[t] = T$ tal que $$T \otimes_R S = \frac{k[t,y_0,y_1,y_2]}{(ty_0^d)}$$ no es plana $T$ -álgebra.
Entiendo geométricamente que esto corresponde a todas las curvas proyectivas de grado $d$ y que el $x_\alpha$ representan los "coeficientes" de las curvas. También sé que la fibra de cualquier primo $P$ (esencialmente eligiendo un conjunto específico de constantes para obtener una curva irreducible) es un anillo polinómico sobre $\text{Frac}(P)$ módulo de la ecuación de grado $d$ que elijamos.
Puedo probar parte $(b)$ sin demasiados problemas, pero estoy muy atascado en la parte $(a)$ . He intentado algunos enfoques obvios como tratar de enumerar una base, pero me estoy confundiendo con la estructura de la localización. Apreciaría mucho una pista para la parte $(a)$ y posiblemente parte $(c)$ .
Gracias de antemano.
