Intento demostrar que el mapa dado por \begin{equation*} \begin{gathered} \varpi: \mathbb{S}^3 \rightarrow SO(3)\\ \mu \mapsto M(f_\mu) \end{gathered} \end{equation*} donde $f_\mu: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ ( $a \mapsto \mu a \mu^{-1}$ ), y $M(f)$ representa la matriz de $f$ es un recubrimiento (de hecho, el recubrimiento universal).
(En el sentido de que $a \in \mathbb{R}^3 = Im(\mathbb{H})$ , $\mu \in \mathbb{S}^3 = \{q \in \mathbb{H} : |q| = 1\}$ y $\mu a \mu^{-1}$ denota el producto cuaternión).
Ya he demostrado que está bien definido y es suryectivo utilizando las relaciones entre los cuaterniones y las rotaciones en $\mathbb{R}^3$ . https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation (Obviamente, también es continuo).
Sin embargo no sé cómo demostrar que es un homeomorfismo local.
En el libro $\textit{Conformal Geometry of Surfaces in $ \mathbb{S}^4 $ and Quaternions}$ por F. E. BURSTALL, D. FERUS, K. LESCHKE, F. PEDIT y U. PINKALL se calcula el diferencial de la cartografía y se demuestra que es un isomorfismo local (y entonces $\varpi$ es un difeomorfismo local).
Está escrito que para $\mu \in \mathbb{S}^3, v\in T_{\mu}\mathbb{S}^3 = (\mathbb{R}_{\mu})^{\bot}$ el diferencial es \begin{equation*} d_{\mu}\varpi(v)(a) = va\mu^{-1} - \mu a \mu^{-1}v\mu^{-1} =\mu(\mu^{-1}va - a\mu^{-1}v )\mu^{-1}. \end{equation*} Pero no sé de dónde viene esta fórmula. ¿Cómo debo calcularla?
A partir de ahí, es fácil demostrar que el diferencial es un isomorfismo local porque $\mu^{-1}v$ conmuta con todos $a\in Im(\mathbb{H})$ sólo si $v = r\mu$ de verdad $r$ . Pero entonces $v = 0$ desde $v \bot \mu$ .
