¿Qué variedades algebraicas admiten un morfismo hacia una curva?

Question

Estoy algo sorprendido de averiguar que P^n's no admite ningún morfismo no constante a una curva: de hecho esto no es caprichoso, para P^1 se sigue por Riemann-Hurwitz, y para P^n, nótese que no admite ningún morfismo no constante a P^1, mientras que cualquier morfismo a una curva se puede componer con una cubierta ramificada de P^1, se ve que cualquier mapa de P^n a curvas son constantes.

Así que mi pregunta es, dada una variedad proyectiva, ¿cuándo se puede encontrar un morfismo no constante a P^1? ¿Y cuándo se puede encontrar un morfismo no constante a una curva de género mayor que 0?

Answer 1

Algunas observaciones opuestas, y el caso de las superficies (mínimas).

Si una variedad $X$ admite un morfismo no constante hacia una curva, entonces admite un morfismo no constante hacia $\mathbb{P}^1$ (basta con componer el morfismo dado con un morfismo de la curva a $\mathbb{P}^1$ ). Por lo tanto, si sólo te interesa la existencia de un morfismo no constante hacia una curva, puedes limitar tu atención a la cuestión de la existencia de un morfismo no constante hacia $\mathbb{P}^1$ . Por otra parte, la existencia de un morfismo hacia una curva de género al menos uno es una propiedad birracional: cualquier morfismo de este tipo factoriza a través de la variedad Albanese de $X$ y la variedad albanesa de $X$ es un invariante birracional. La propiedad de admitir un morfismo a $\mathbb{P}^1$ no es claramente una propiedad invariante birracional, ya que cualquier función racional no constante determina un mapa racional a $\mathbb{P}^1$ (véase la respuesta de Charles Matthews).

Sin embargo, ambas preguntas parecen bastante difíciles. Una formulación equivalente de la pregunta es la siguiente: ¿será que $X$ admiten dos divisores nef efectivos distintos de cero? La equivalencia de las afirmaciones es casi tautológica. Una implicación fácil es que el rango del grupo Neron-Severi de $X$ es al menos dos, y que hay divisores nef efectivos distintos de cero que no son grandes.

Para superficies mínimas, la situación es la siguiente. Una superficie de dimensión de Kodaira negativa (es decir, una superficie reglada o $\mathbb{P}^2$ , aquí no necesitamos que la superficie sea mínima) admite un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ si y sólo si no es isomorfo a $\mathbb{P}^2$ . Una superficie de dimensión Kodaira cero (es decir, una superficie K3, Enriques, Abeliana o biellíptica) no admite un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ es una superficie K3 no elíptica. Toda superficie de dimensión Kodaira uno (una superficie propiamente elíptica) admite un morfismo a $\mathbb{P}^1$ (y de hecho un morfismo canónico a una curva).

EDIT: Entre las superficies de dimensión cero de Kodaira, también las superficies abelianas simples (es decir, las superficies abelianas que no son isógenas a un producto de dos curvas elípticas) no admiten ningún morfismo hacia una curva.

Para todas las superficies (incluidas las superficies de dimensión dos de Kodaira), una cosa que se puede decir es que existe un Teorema de Castelnuovo y de Franchis caracterizar superficies con un morfismo hacia una curva de género al menos dos.

Así, en conclusión, parece que para las superficies mínimas de tipo especial, las únicas superficies que no admiten un morfismo hacia una curva son $\mathbb{P}^2$ y superficies K3 no elípticas y superficies abelianas simples (¡que no parece tan malo, después de todo!). Obsérvese que cada componente irreducible del espacio de moduli de las superficies K3 polarizadas contiene superficies elípticas y no elípticas.

Answer 2

La existencia de un morfismo de una variedad compacta de Kähler a curva de género $g \ge 2$ es un hecho puramente topológico. Esto fue demostrado por primera vez por Siu, y redescubierto independientemente por Beauville. El enunciado exacto es el siguiente:

Una variedad compleja compacta de Kähler $M$ admite un morfismo no constante hacia de género $g \ge 2 $ sólo si si existe un homomorfismo del grupo fundamental de $M$ al grupo fundamental de alguna curva de género $g' \ge 2$ .

Esto ha sido generalizado por Catanese aquí donde también se encuentra el argumento de Beauville.

En líneas generales, el argumento es el siguiente:

1. el morfismo de entre grupos fundamentales garantiza la existencia de un gran subespacio en $H^1(M, \mathbb C)$ ;
2. La teoría de Hodge permite reconocer un espacio en $H^0(M,\Omega^1)$ de dimensión mínima $g$ isótropo con respecto a el producto cuña;
3. para concluir se aplica el argumento de Castelnuovo-De Franchis.

La existencia de un morfismo hacia una curva de género $1$ es más sutil y depende de la estructura analítica de $M$ y no sólo en su topología. Por ejemplo, una variedad abeliana general no tiene un morfismo no constante hacia una curva elíptica, pero hay muchas que sí lo tienen.

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En una toma diferente existe también el siguiente resultado de Totaro :

Si una variedad proyectiva $M$ admite tres pares conectados disjuntos con clases de Chern situadas en una línea de línea de $H^2(M, \mathbb R)$ entonces $M$ fibras sobre una curva.

Hay que tener en cuenta que no basta con dos divisores de conexión disjuntos por pares para llegar a una conclusión como la del ejemplo $M = \mathbb P ( \mathcal O_N \oplus \mathcal L)$ ( con $N$ una variedad proyectiva y $\mathcal L$ un haz de líneas con clase de Chern cero ).

También existe una generalización del resultado de Totaro a variedades complejas compactas arbitrarias aquí .

Answer 3

Como señaló Damiano, si un proyectivo liso $X$ se proyecta sobre una curva, y $\dim X>1$ entonces el número de Picard es al menos $2$ . Esto da una clara obstrucción, lo que explica por qué $\mathbb{P}^n$ no la satisfará (cuando $n>1$ ). He aquí una pequeña mejora:

Lemma: Supongamos que un $n$ variedad dimensional $X$ se proyecta sobre $m$ -con $0<m<n$ . Entonces $$\dim im[CH^m(X)\otimes \mathbb{Q} \to H^{2m}(X)]>1$$ donde $H^*(X)$ denota singular o $\ell$ -ádica.

Prueba: La clase de la fibra general y $H^{n-m}$ con $H$ un divisor amplio, son independientes.

Cor: $\mathbb{P}^n$ no se proyecta sobre una variedad no trivial de dimensión inferior.

(Esto también se deduce directamente del teorema de Bezout).

Por otro lado, $X$ se asignará a $\mathbb{P}^1$ después de estallar, como Charles observó, y esto es a menudo un truco muy útil en la práctica.

El caso de ( * ) $X$ El mapeo en curvas de género dos o más es algo que ha estudiado mucha gente*. De Castelnuovo-De Francis (véase la respuesta de Damiano) se pueden extraer varios criterios topológicos. He aquí uno: $X$ satisface ( * ) si y sólo si el grupo fundamental admite un homomorfismo suryectivo sobre el grupo fundamental de dicha curva. (En mi respuesta original, no me había dado cuenta de que JVP ya había discutido esto). Algo de esto probablemente se describe en el libro de varios autores sobre los grupos de Kaehler. Echa un vistazo también a mi nota en el Boletín del siglo pasado.

Por si no estaban claros los resultados del último párrafo son característicos $0$ solamente. El caso de la característica positiva no se ha que yo sepa, y es potencialmente muy interesante. Advertencia: la técnicas estándar como Castelnuouvo-De Franchis, ¡fallarán!

* Entre ellas: Amoros, Beauville, Bressler, Campana, Catanese, Gromov, Green, Lazarsfeld, Ramachandran, Simpson Siu, y yo. Las personas procedentes de la teoría de la también han estudiado la cuestión para variedades abiertas, pero aquí la literatura es tan amplia que ni siquiera lo intentaré.

Answer 4

Esta es una revisión sustancial de mi respuesta anterior basada en los comentarios y las demás respuestas. La hago wiki comunitaria por dos razones: incorpora ideas de mi respuesta (por las que ya he ganado reputación), así como ideas de los otros mensajes (¡por los que no merezco reputación!); la gente puede editarla para corregir errores y erratas que sin duda están presentes.

En lo que sigue, con frecuencia no especificaré que se supone que un morfismo no es constante; ¡dejaré al lector que averigüe cuándo se puede añadir la palabra "no constante"! Además, sólo trataré la cuestión de una variedad de dimensión al menos dos que se corresponda con una curva: el caso de las curvas puede complicarse mucho si se especifica más la cuestión, pero no me preocuparé por ello.

En primer lugar, la pregunta del título se refiere a los morfismos hacia una curva. Veremos que hay diferencias en función de la dimensión de Kodaira de la curva objetivo, cuanto mayor es la dimensión, más rígida es la situación: pasamos de una dimensión de Kodaira negativa (objetivo de género cero) donde la propiedad no es ni invariante biracional ni invariante de deformación; a una dimensión de Kodaira cero (el objetivo es una curva de género uno) donde la propiedad es invariante biracional, pero no invariante de deformación; a una dimensión de Kodaira positiva (objetivo de género al menos dos) donde la propiedad es tanto invariante biracional como invariante de deformación (¡y más! ). Empecemos.

Si una variedad $X$ admite un morfismo no constante hacia una curva, entonces admite un morfismo no constante hacia $\mathbb{P}^1$ (basta con componer el morfismo dado con un morfismo de la curva a $\mathbb{P}^1$ ). Por lo tanto, si sólo te interesa la existencia de un morfismo no constante hacia una curva, puedes limitar tu atención a la cuestión de la existencia de un morfismo no constante hacia $\mathbb{P}^1$ . La propiedad de admitir un morfismo a $\mathbb{P}^1$ claramente no es una propiedad invariante biracional, ya que cualquier función racional no constante determina un mapa racional a $\mathbb{P}^1$ (vea la respuesta de Charles Matthews y piense en $\mathbb{P}^2$ ). Tampoco es una propiedad invariante de deformación, como el ejemplo de una familia de superficies cuárticas en $\mathbb{P}^3$ que contiene un cuártico con número de Picard uno y un cuártico con una recta muestra claramente.

Para este caso general existe una condición necesaria fácil.

Lema 1. Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa de dimensión al menos dos y sea $f \colon X \to \mathbb{P}^1$ sea un morfismo no constante. Entonces hay on $X$ dos divisores efectivos linealmente equivalentes no nulos $D_0,D_1$ . En particular, hay $X$ divisores nef que no son amplios y, por tanto, el número de Picard de $X$ es de al menos dos.

Prueba. Deja que $D_0$ y $D_1$ sean las fibras del morfismo $f$ por encima de dos puntos distintos. Para la segunda afirmación, si el número de Picard de $X$ fuera igual a uno, entonces cualquier divisor efectivo distinto de cero $H$ en $X$ sería amplio, y en particular tendríamos $D_0 \cdot D_1 \equiv H^2 \neq 0$ contradiciendo el hecho de que $D_0$ y $D_1$ son disjuntos. $\square$

Como señala Donu Arapura, una variación del Lemma 1 también funciona para morfismos no constantes a variedades $Y$ de dimensión inferior a la dimensión $X$ . En este caso perdemos el hecho de que los divisores son linealmente equivalentes, pero aún podemos encontrar $\dim(Y)+1 \leq \dim(X)$ (Weil) divisores en $Y$ cuya intersección está vacía. Sus retrocesos a $X$ danos $\dim(Y)+1$ divisores con intersección vacía; de nuevo se deduce que el número de Picard de $X$ es al menos dos (véase la respuesta de Donu Arapura para una afirmación con grupos de Chow y cohomología).

Como señala jvp, hay un refinamiento del Lemma 1 por Totaro a una equivalencia (ver la respuesta de jvp para más detalles).

Pasemos al caso de los morfismos a curvas suaves no racionales. La existencia de un morfismo a una curva de género al menos uno es una propiedad birracional: cualquier morfismo de este tipo es factor a través del morfismo entre la variedad Albanese de $X$ y el jacobiano de la curva, y ya está, ya que la imagen de $X$ en su variedad Albanese es un invariante birracional y es todo lo que necesitamos para decidir la existencia de un morfismo.

También en este caso, sin embargo, la propiedad no es invariante de la deformación: ya en el caso de jacobianos de curvas de género dos podemos encontrar ejemplos de superficies abelianas simples y de superficies abelianas que son productos de curvas elípticas (o también simplemente isógenas a productos; véase, por ejemplo, esta pregunta del modus operandi ).

Hay un criterio necesario fácil que todo el mundo conoce, pero que nadie ha mencionado explícitamente, así que lo mencionaré aquí: si una variedad $X$ admite un morfismo (genéricamente suave) hacia una curva de género $g$ entonces la irregularidad de $X$ es como mínimo $g$ (esto significa que el espacio de las formas holomorfas tiene al menos la dimensión $g$ ). La prueba se obtiene simplemente retirando formas de la curva a $X$ . Esto descarta varias posibilidades, pero está muy lejos de ser suficiente: es una "versión abeliana" de algo que veremos más adelante.

En este caso podemos enunciar un criterio que puede dar una idea de las dificultades que entraña.

Lema 2. Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa. Son equivalentes

_* $X$ admite un morfismo no constante hacia una curva de género uno;

• la variedad albanesa de $X$ es isógena a un producto de una curva elíptica y una variedad abeliana;_* la variedad Albanese contiene una curva elíptica.

La equivalencia de las afirmaciones anteriores se deduce inmediatamente del comentario sobre el morfismo que factoriza a través de la variedad Albanese, así como de afirmaciones bien conocidas sobre morfismos de variedades abelianas. Podríamos sustituir la variedad albanesa en el lema 2 por el grupo de Picard (o la componente conexa de la identidad), utilizando la dualidad entre la variedad albanesa y el jacobiano. Así, decidir si una variedad admite un morfismo hacia una curva de género uno se reduce a la cuestión de comprender las dimensiones de los factores simples de su variedad Albanese. Es complicado, pero al menos parece que hemos avanzado algo, ¡comparado con el caso de los morfismos a curvas de género cero!

Pasemos al caso de los morfismos a curvas de género al menos dos. Ya hemos visto que la propiedad es en este caso un invariante birracional; de hecho la propiedad es un invariante de deformación (¡y más!). Esto se deduce de una bella caracterización que sólo involucra a los grupos fundamentales topológicos (sobre campos de característica cero). Esta caracterización comienza (en el caso de las superficies) con la expresión Teorema de Castelnuovo y de Franchis posteriormente generalizado (por Siu, Beauville y Catanese) para que funcione con variedades proyectivas lisas arbitrarias. Para más detalles, véase el comentario de Angelo a mi respuesta anterior, así como las respuestas de jvp y Donu Arapura. Como menciona Donu, sería interesante generalizar esto a variedades sobre campos generales. Por ejemplo, ¿qué se puede decir de una variedad cuyo grupo fundamental etéreo se proyecta sobre el grupo fundamental etéreo de una curva de tipo general?

Por último, concluiré esta respuesta analizando el caso de las superficies mínimas.

Una superficie de dimensión Kodaira negativa (es decir, una superficie reglada o $\mathbb{P}^2$ , aquí no necesitamos que la superficie sea mínima) admite un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ si y sólo si no es isomorfo a $\mathbb{P}^2$ . Los morfismos a curvas de género superior también son fáciles de analizar y se reducen rápidamente al caso de los morfismos entre curvas.

Una superficie de dimensión Kodaira cero (es decir, una superficie K3, Enriques, Abeliana o biellíptica). no admite un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ es una superficie K3 no elíptica o una superficie abeliana simple (es decir, una superficie abeliana que no es isógena a un producto de dos curvas elípticas). Los morfismos hacia curvas de género al menos uno quedan descartados para las superficies K3 por la irregularidad; para las variedades abelianas todo morfismo no constante hacia una curva es factor a través de un morfismo hacia una curva elíptica (y claramente no hay morfismos hacia curvas de género al menos dos).

Toda superficie de dimensión Kodaira uno (una superficie propiamente elíptica) admite un morfismo a $\mathbb{P}^1$ ; más precisamente, la factorización de Stein del morfismo determinado por un múltiplo suficientemente grande del divisor canónico es un morfismo canónico a una curva.

Para las superficies de dimensión dos de Kodaira, ¡no sé qué más decir, aparte de lo que ya se ha comentado anteriormente!

Así, en conclusión, para las superficies mínimas de tipo especial, las únicas superficies que no admiten un morfismo hacia una curva son $\mathbb{P}^2$ superficies K3 no elípticas y superficies abelianas simples (¡que no parece tan malo, después de todo!). Nótese que cada componente irreducible del espacio de moduli de las superficies K3 polarizadas contiene superficies elípticas y no elípticas.

Answer 5

La cuestión sobre la recta proyectiva parece más fundamental. Y geométricamente parece tratarse de las gráficas de funciones racionales. Ciertamente, el campo de funciones de V proporciona morfismos de un conjunto abierto denso en V a la recta. La gráfica de tal morfismo existe en el producto de V y la recta: tomemos su cierre. La proyección sobre el factor V muestra este cierre de la gráfica como una expansión de V. La proyección sobre la recta, en cierto sentido, es el morfismo que buscamos. Así que tal vez usted está pidiendo todas las variedades que ocurren como tales gráficos.