¿Por qué es $v/\|v\|$ no es un vector unitario?

Question

Tengo una tarea que es la pregunta en serio haciendo campaña en mí. Fue una declaración verdadero/falso. La declaración es

"Si $v$ es cualquier vector en un producto interior espacio de $V$, $v/\|v\|$ es un vector unitario"

y según mi profesor, la afirmación es falsa. No es división de un vector por su longitud, la definición misma de la normalización de un vector?

Edit: Gracias a todos! Yo ni siquiera considerar el vector nulo.

Answer 1

Esto no es cierto para cualquier vector. Existe al menos un vector para el que es indefinido : el vector nulo.

Ahora, es cierto que para todos no nulos del vector es un vector unitario

Answer 2

$\vec{v} = 0$, entonces: $$\frac{1}{\|v\|}\vec{v} = ?$$

La norma, $\| \|$ es, normalmente,$>0$, salvo si $v = 0$.

Answer 3

Considero que su profesor pregunta a estar mal declaró.

La expresión

Si $v$ es cualquier vector en un producto interior espacio de $V$, $v/\|v\|$ es un vector unitario.

puede ser traducido a símbolos como

$$\forall v \in V: \left\| \frac{v}{\|v\|} \right\| =1. \tag{1}\label{first}$$

If your professor has true/false as possible answers then either \eqref{first} is true or its negation, which is

$$ \exists v \in V: \left\| \frac{v}{\|v\|} \right\| \ne 1. \tag{2}\label{second}$$

Now note that \eqref{second} isn't true either since it "breaks" if you try to plug in $0\en V$ (para que uno no se puede dividir por cero).

Así, mientras que uno puede ver cuál era el significado de la pregunta y de que su profesor significaba false a ser la respuesta correcta, yo, siendo un estudiante, siempre estoy un poco molesta cuando veo algo como esto en un examen.

Answer 4

Gran pregunta. Sí, el vector cero es el contra-ejemplo.

También me gustaría añadir que la matriz cero es bueno recordar cuando la necesidad de contra-ejemplos, ha sido una buena, especialmente para los exámenes, a partir de mi propia experiencia.