Demostrar que una serie de variables aleatorias converge casi con seguridad.

Question

Sea $X_1,X_2,\dots$ sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con $$\mathbb{P}(X_n=1)=\mathbb{P}(X_n=-1)=1/2$$ para todos $n\geq1$ . Demuestre que la serie $$\sum_nX_n/n$$ converge casi con seguridad.

Mi idea era definir el proceso aleatorio $(S_n)_{n\geq1}$ por $$S_n = \sum_{k=1}^nX_k/k.$$ Es bastante simple demostrar que se trata de una martingala, y por lo tanto si puedo demostrar que este proceso es $L^1$ -entonces puedo usar el teorema de convergencia martingala casi segura de Doob para obtener el resultado. Pero no sé cómo demostrar $L^1$ -(o si incluso es posible, en cuyo caso necesito una nueva idea), ¡así que cualquier ayuda sería estupenda!

Answer 1

Usando la sugerencia de @user6247850, mostramos $L^2$ -del proceso. No es muy difícil ver que una martingala $S_n$ es $L^2$ acotado si y sólo si sus incrementos satisfacen la siguiente condición de sumabilidad: $$\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[(S_n - S_{n-1})^2] < \infty$$ Esto se deduce del hecho de que para una martingala $S_n \in L^2$ la ortogonalidad de los incrementos implica: $$\mathbb{E}(S_n^2) = \mathbb{E}(S_0^2) + \sum_{k=1}^n \mathbb{E}[(S_k - S_{k-1})^2]$$

Aplicando esto a su martingala de interés, obtenemos $\mathbb{E}[(S_n - S_{n-1})^2] = \frac{1}{n^2}$ de modo que $$\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[(S_n - S_{n-1})^2] = \frac{\pi^2}{6} < \infty$$

Así, $(S_n)$ es un $L^2$ -martingala limitada. Por el teorema de convergencia martingala de Doob, $S_n$ converge casi con seguridad.