Densidad asintótica de k-casi primos

Question

Sea $\pi_k(x)=|\{n\le x:n=p_1p_2\cdots p_k\}|$ sea la función de recuento para el k -casi primos, generalizando $\pi(x)=\pi_1(x)$ . Un resultado de Landau es $$\pi_k(x)\sim\frac{x(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!\log x}\qquad\qquad(1)$$ pero esta aproximación es muy pobre para $k>1$ .

Para $\pi(x)$ se sabe mucho más. Una serie asintótica (divergente) $$\pi(x)=\frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{\log^2x}+\frac{6}{\log^3x}\cdots\right)\qquad\qquad(2)$$ (véase, por ejemplo, el trabajo histórico de Cipolla [1], que invirtió este valor para obtener una serie para $p_n$ ). Y, por supuesto, es bien sabido que $$\pi(x)=\operatorname{Li}(x)+e(x)\qquad\qquad(3)$$ para un término de error $e(x)$ (no estoy seguro de cuál es el mejor resultado actual) que se puede tomar [4], en la HR, para ser $O(\sqrt x\log x)$ . Aún mejor, Schoenfeld [6] transformó famosamente esto en una versión eficaz con $$|e(x)|<\sqrt x\log x/8\pi\qquad\qquad(4)$$ para $x\ge2657$ . Para los herejes que rechazan la Hipótesis de Riemann, Pierre Dusart tiene un preprint [2] que mejora los resultados de su tesis [3]; en particular, para $x\ge2953652302$ , $$\frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{\log^2x}\right)\le\pi(x)\le\frac{x}{\log x}\left(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2.334}{\log^2x}\right)\qquad\qquad(5)$$

Pero no conozco ningún resultado ni siquiera tan débil como (2) para casi primos. Incluso si no existe nada efectivo como (5), me alegraría una estimación como (3).

Resultados parciales

Montgomery & Vaughan [5] demuestran que $$\pi_k=G\left(\frac{k-1}{\log\log x}\right)\frac{x(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!\log x}\left(1+O\left(\frac{k}{(\log\log x)^2}\right)\right)$$ para cualquier k fijo (y, de hecho, uniformemente para cualquier $1\le k\le(2-\varepsilon)\log\log x$ aunque el O depende (¿exponencialmente?) del $\varepsilon$ ), donde $$G(z)=F(1,z)/\Gamma(z+1)$$ y $$F(s,z)=\prod_p\left(1-\frac{z}{p^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^z$$ aunque no estoy muy seguro de cómo calcular $F$ .

Si éste es el mejor resultado conocido (y no simplemente el mejor resultado demostrable a nivel de libro de texto), entonces esto demuestra que se sabe mucho menos sobre la distribución de, por ejemplo, los semiprimos que sobre los primos.

Referencias

[1] M. Cipolla, "La determinación assintotica dell n $^\mathrm{imo}$ número primo", Matemáticas Nápoles 3 (1902), pp. 132-166.

[2] Pierre Dusart, "Estimaciones de algunas funciones sobre primos sin R.H." (2010) http://arxiv.org/abs/1002.0442

[3] Pierre Dusart, "En torno a la función que cuenta el número de primos" (1998) http://www.unilim.fr/laco/theses/1998/T1998_01.html

[4] Helge von Koch, "Sobre la distribución de los números primos". Acta Mathematica 24 :1 (1901), pp. 159-182.

[5] Hugh Montgomery y Robert Vaughan, Multiplicative Number Theory I. Classical Theory. (2007). Cambridge University Press.

[6] Lowell Schoenfeld, "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions (x) and (x). II". Matemáticas del cálculo 30 :134 (1976), pp. 337-360.

[7] Robert G. Wilson v, Número de semiprimos <= 2^n. En la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros, A125527. http://oeis.org/A125527 ; c.f. http://oeis.org/A007053

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EDITADO, por Joël. Edito esta vieja pregunta para darle un empujón y observar que un aspecto no ha sido respondido. A saber, ¿existe bajo la Hipótesis de Riemann una estimación asintótica para $\pi_k(x)$ análogo a (3), (4) para $\pi(x)$ (es decir $\pi(x) = Li(x) + O(\sqrt{x} \log x)$ )? ¿O alguna estimación para $\pi_k(x)$ con un término principal dado por algunas funciones clásicas, y un término de error en $O(x^\delta)$ con algunos $\delta<1$ ? La respuesta de Micah da un término principal que es una función racional de $x$ , $\log x$ , $\log \log x$ pero con un término de error mucho menos bueno, lo que no es sorprendente ya que incluso para $\pi(x)$ es bien sabido que el término principal debe escribirse como $Li(x)$ no $x/\log(x)$ , si queremos tener alguna esperanza de y más raro plazo en $O(x^\delta)$ , $\delta<1$ (y mucho menos $O(\sqrt{x}\log x)$ ).

Answer 1

Abordaré la pregunta editada de Joel de obtener buenas asintóticas en RH. El argumento que sigue se debe esencialmente a Selberg, pero no es exactamente lo que él hace y no lo he visto presentado así en la literatura. El problema natural es considerar los coeficientes de $(\log \zeta (s))^k/k!$ en lugar de números con exactamente $k$ factores primos. Obsérvese que para $k=1$ y $2$ los dos objetos están estrechamente relacionados, y se necesita cierta combinatoria obvia pero desagradable para grandes $k$ .

Por lo tanto, queremos calcular $$ \frac{1}{2\pi i} \frac{1}{k!} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} (\log \zeta(s))^k x^s \frac{ds}{s}, $$ donde la integral se toma sobre alguna línea con $c>1$ . Ahora queremos desplazar los contornos como de costumbre, pero hay que tener cuidado porque se trata de singularidades logarítmicas y no sólo de polos. Primero elegimos $c$ sólo un poco más grande que $1$ y truncar la integral a cierta altura $T$ . A continuación, deforme el contorno del siguiente modo: Tomar una hendidura a lo largo del eje real desde $1/2+\epsilon$ a $1$ con una línea justo por encima y una línea justo por debajo de la rendija, y luego segmentos de línea desde $1/2+\epsilon$ a $1/2+\epsilon +iT$ y de ahí a $c+iT$ y segmentos de línea similares por debajo del eje real. Si se supone RH, los errores de truncamiento junto con todas las integrales excepto las que están por encima y por debajo de la rendija pueden acotarse por $x^{1/2+\epsilon}$ . Así concluimos que nuestra integral es igual, con error $O(x^{1/2+\epsilon})$ , $$ -\frac{1}{2\pi i} \frac{1}{k!} \int_{1/2+\epsilon}^{1} \Big((\log \zeta(\sigma+ 0^+ i))^k - (\log \zeta(\sigma+0^- i))^k \Big) \frac{x^\sigma}{\sigma} d\sigma. $$ Aquí utilizo $0^+i$ para indicar la parte superior de la rendija, y $0^-$ para indicar la parte inferior. Los dos términos no se anulan debido al cambio en el argumento de $\zeta$ por encima y por debajo de la hendidura. Obsérvese que por encima de la rendija se tiene $\log \zeta(\sigma+0^+i) = \log |\zeta(\sigma)| - i\pi$ y por debajo de la rendija se tiene $\log \zeta(\sigma+0^-i) = \log |\zeta(\sigma)| +i \pi$ . Así pues, la respuesta deseada es $$ \frac{1}{\pi k!} \int_{1/2+\epsilon}^1 \text{Im} (\log |\zeta(\sigma)| +i\pi)^k \frac{x^{\sigma}}{\sigma} d\sigma + O(x^{1/2+\epsilon}). $$

Para apreciar lo que esto significa, consideremos primero el teorema de los números primos que es el caso $k=1$ . De lo anterior se desprende que el término principal es $$ \int_{1/2+\epsilon}^{1} \frac{x^{\sigma}}{\sigma} d\sigma, $$ y un cambio de variables produce $\text{Li}(x)$ . En $k=2$ (esencialmente el caso de $\pi_2(x)$ ) el trabajo anterior da $$ \int_{1/2+\epsilon}^1 \log |\zeta(\sigma)| \frac{x^{\sigma}}{\sigma} d\sigma + O(x^{1/2+\epsilon}). $$ Las asintóticas de orden principal proceden de $\sigma$ muy cerca de $1$ en la escala de $1-c/\log x$ y luego $\log |\zeta(\sigma)|$ aportará el extra $\log \log x$ . A partir de esta expresión se pueden obtener expansiones asintóticas más precisas, etc.

Permítanme señalar también que uno puede hacer este argumento incondicional utilizando la región libre cero clásica, y puede valer la pena llevarlo a cabo. La forma habitual en que se llevan a cabo tales resultados en la literatura es comenzar con la asintótica para coeficientes de $\zeta(s)^z$ para complejos $z$ y luego utilizar el método del punto de silla para identificar a partir de estos números con $k$ factores primos. Este es el argumento de Selberg con varias elaboraciones, sobre todo por Hildebrand y Tenenbaum. El argumento anterior parece un atajo y puede producir mejores resultados. Sería sorprendente que a nadie se le hubiera ocurrido antes, pero en cualquier caso yo no lo he visto.

Answer 2

En el libro de Tenenbaum "Introduction to analytic and probabilistic number theory" utiliza el método Selberg-Delange para demostrar que la estimación

$$\pi_k(x):=\sum_{n\leq x, \ \omega(n)=k} 1 = \frac{x}{\log x} \sum_{j=0}^N \frac{P_{j,k}(\log\log x)}{(\log x)^j} + O_A\left(\frac{x(\log\log x)^k}{k! \log x} R_N(x) \right) $$

se cumple uniformemente para $x\geq 3$ , $1\leq k \leq A \log \log x$ et $N\geq 0$ donde $P_{j,k}$ es un polinomio de grado máximo $k-1$ ,

$$R_N(x) = e^{-c_1\sqrt{\log x}} + \left(\frac{c_2 N+1}{\log x}\right)^{N+1},$$

y $c_1$ y $c_2$ son constantes positivas que pueden depender de $A$ . Este es el teorema 4 del capítulo 6.

En el teorema 5, demuestra que una estimación similar es válida para $\displaystyle{N_k(x):=\sum_{n\leq x, \ \Omega(n)=k} 1}$ .

Answer 3

Según la Historia de Dickson, Gauss, en un manuscrito de 1796, afirmó empíricamente que el número $\pi_2(x)$ de números enteros $\le x$ que son productos de dos primos distintos, es aproximadamente $x\log\log x/\log x$ . Landau demostró este resultado y la generalización $$\pi_{\nu}(x)={1\over(\nu-1)!}{x(\log\log x)^{\nu-1}\over\log x}+O\left({x(\log\log x)^{\nu-2}\over\log x}\right)$$ donde $\pi_{\nu}(x)$ es el número de enteros $\le x$ que son productos de $\nu$ primos distintos. Así que ese sería el status quo, a partir de 1919.

EDITAR. Tomando nota de la respuesta de John, y al no tener el libro de Tenenbaum, he buscado artículos relevantes de Tenenbaum, y he encontrado a Adolf Hildebrand y G ${\rm\acute e}$ rald Tenenbaum, On the number of prime factors of an integer, Duke Math J 56 (1988) 471-501, MR89k:11084. Los autores demuestran lo que el revisor
( ${\rm Aleksandar\ Ivi\acute c}$ ) denomina "fórmula asintótica notable" para $\pi(x,k)$ el número de enteros hasta $x$ con exactamente $k$ factores primos distintos. No tengo energía para reproducir aquí la larga fórmula (ni valor para cortarla y pegarla de Math Reviews).

Otro artículo que parece de interés es Hsien-Kuei Hwang, Sur la repartition des valeurs des fonctions arithmetiques, J No Thy 69 (1998) 135-152, MR99d:11100. El autor afirma caracterizar completamente el comportamiento asintótico del número de enteros positivos hasta $x$ con $m$ factores primos (contados con multiplicidades).

Answer 4

Miré a $$\int_e^x\frac{(\log\log t)^{k-1}}{(k-1)!\log t}dt$$ para ver si, empíricamente, el error era menor en el caso especial $k = 2,\ x = 2^n$ (semiprimos a potencias de 2, como en A125527 ). Por desgracia, los resultados no fueron concluyentes. El error era menor en el dominio que comprobé: aproximadamente la mitad del error en torno a un millón, disminuyendo a una cuarta parte menos de error en $2^{49}$ . Pero en todos los lugares en los que lo comprobé, ambas estimaciones eran demasiado pequeñas, por factores relativos significativos.

Además, estos errores no parecían disminuir mucho. El error en $x\log\log x/\log x$ pasó del 10% al 8% con bastante suavidad, mientras que el error en la integral alcanzó un máximo relativo aparente en torno al $2^{40}$ permaneciendo entre el 5% y el 6% todo el camino. Esto parece fundamentalmente diferente al comportamiento con Li y $x/\log x$ donde el error en este último (wrt $\pi(x)$ ) supera rápidamente el error del primero.

Answer 5

Como no necesariamente se pedían resultados probados, he encontrado lo siguiente bastante exacto:

$$N_k(x):=\ \mid\{n\leq x : \Omega(n)=k\}\mid \ \sim \Re\bigg(\frac{2^{1-k}\alpha e^{1+e}x\log(1+e+\log(2^{1-k}\alpha x))^{\beta}}{\beta!(1+e+\log(2^{1+e}\alpha x)}\bigg) $$ para $1 \leq k\leq \lfloor \log_2 (x) \rfloor$ donde $\log_2$ es $\log$ base $2$ , $\gamma $ es la constante de Euler, $\beta=1+e+ \log \alpha +(1+e+ \log \alpha) ^{1/\pi}$ y $$ \alpha=\frac{1}{2}\ \rm{erfc}\bigg(-\frac{k-(2e^{\gamma}+\frac{1}{4})}{(2e^{\gamma}+\frac{1}{4})\sqrt{2}\ }\bigg)-2\rm{T}\bigg(\bigg(\frac{k}{(2e^{\gamma}+\frac{1}{4})}-1\bigg),e^{\gamma}-\frac{1}{4}\bigg)\\ $$ donde $\rm{erfc}$ es la función de error complementaria y $\rm{T}$ es la función T de Owen.

En forma integral, $$\alpha= \frac{1}{\pi}\int_{(-3+8e^\gamma)/(\sqrt{2}(1+8e^\gamma))}^\infty e^{-t^2}\rm{d} t +\int_0^{1/4\ -\ e^\gamma}\frac{e^{-(3\ -\ 8e^\gamma)^2(1+t^2)/(2(1+8e^\gamma)^2)}}{1+t^2}\rm{d} t.$$

En $k\rightarrow \infty$ , $\alpha\rightarrow 1$ Así que

$$\lim_{k \rightarrow \infty}N_{k}(x \cdot 2^{k-1})\sim\frac { {e^{e+1}} x\log\log( {e^{e+1}} x)^{\beta}}{\log( {e^{e+1}} x)\beta!}, $$ donde $\beta=\log(e^{e+1})+\log(e^{e+1})^{1/\pi}.$

Para $k\leqslant 3$ No cabe duda de que se pueden introducir mejoras en lo anterior, pero como $k\rightarrow \infty$ (o más correctamente, como $k\rightarrow \lfloor \log_2 (x) \rfloor$ ), las fórmulas anteriores, hasta donde se han probado, parecen bastante exactas.

Para mayor comodidad, incluyo lo siguiente Mathematica código:

cdf[k_, x_] :=
Re[N[
(2^-k E^(1 + E) x Log[1 + E + Log[2^-k x (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] + 4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma])]]^(1 + E + Log[1/2 (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] +4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma])] + (1 + E + Log[1/2 (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] + 4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma])])^(1/\[Pi])) (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] + 4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma]))/((1 + E + Log[1/2 (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] + 4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma])] + (1 + E + Log[1/2 (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2]
(1 + 8 E^EulerGamma))] + 4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma),
1/4 - E^EulerGamma])])^(1/\[Pi]))!
(1 + E + Log[2^-k x (Erfc[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(Sqrt[2] (1 + 8 E^EulerGamma))] +
4 OwenT[(1 + 8 E^EulerGamma - 4 k)/(1 + 8 E^EulerGamma), 1/4 - E^EulerGamma])]))]];

landau[k_, x_] := N[(x Log[Log[x]]^(-1 + k))/((-1 + k)! Log[x])];

actual[k_, x_] := N[Sum[1, ##] & @@ Transpose[{#, Prepend[Most[#], 1], PrimePi@
Prepend[ Prime[First[#]]^(1 - k) Rest@FoldList[Times, x, Prime@First[#]/Prime@Most[#]],
x^(1/k)]}] &@Table[Unique[], {k}]];

Agradezco cualquier crítica o comentario al respecto, y me disculpo de antemano si he cometido algún error grave.

Nota: Se incluye el código de la tabla según lo solicitado:

a = 7;
x = 10^a;
kk = 20;
TableForm[Transpose[{Table[x, {x, 1, kk}], Table[Round[landau[k, x]], {k, 1, kk}], 
Table[Round[cdf[k, x]], {k, 1, kk}], Table[actual[k, x], {k, 1, kk}]}], 
TableHeadings -> {None, {"k  ", "Landau", "CDF   ", "Actual"}}, 
TableSpacing -> {2, 3, 0}]