Derivada covariante del producto escalar

Question

En este caso, describen la derivada covariante de una cantidad $A^\mu B^\mu$ . Según tengo entendido, los productos escalares son como los productos internos

Pero ya definimos la derivada covariante de un campo vectorial con componentes casi idénticas $V^a e_a$ . Y a mi entender, la definición de $\nabla_b V^a$ es la forma componente de la derivada. Entonces, ¿qué sentido tiene que volvamos a tomar la derivada?

Answer 1

La derivada covariante de un escalar a lo largo de un campo vectorial es simplemente su derivada a lo largo de ese campo vectorial. Moralmente hablando, la derivada covariante de un producto interior de campos vectoriales debería obedecer algún tipo de regla de producto que la relacionara con las derivadas covariantes de los campos vectoriales. Y de hecho eso es lo que hace el teorema fundamental de la geometría de Riemann dice .