Las siguientes definiciones/teoremas/etc proceden de este documento de Masuda, 1984.
Planteamiento del problema de Navier-Stokes
Para $n \geq 3$ , dejemos que $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ , $T > 0$ . Escribimos las ecuaciones NS incompresibles como sigue:
(NS) $\begin{cases} \text{d}_t u - \Delta u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p = f; \ \nabla \cdot u = 0, \ x \in \Omega, \ 0<t<T \\ u|_{\partial \Omega} = 0 ; \ u|_{t=0} = a \end{cases}$
Dónde $u : \Omega \times [0,T) \rightarrow \mathbb{R}^n$ es la velocidad vectorial desconocida,
$ p : \Omega \times [0,T) \rightarrow \mathbb{R}^n$ es la presión desconocida,
$ f : \Omega \times [0,T) \rightarrow \mathbb{R}^n $ es una fuerza externa dada, y
$a:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ es la velocidad inicial dada.
Espacios funcionales
\begin{align} C^{\infty}_{0, \sigma}(\Omega) & := \{ f \in C^{\infty}_{0}(\Omega)^{n} \ | \ \nabla \cdot f = 0 \} \\ L_{\sigma}^{2}(\Omega) & := \overline{C^{\infty}_{0, \sigma}(\Omega)}^{||\cdot||_{L^2}} \\ H^1(\Omega) = W^{1,2}(\Omega) & := \{ f \in L^2 \ | \ \partial_{x_i} f \in L^2, \ i=1,...,n \} \\ H^{1}_{0,\sigma}(\Omega) & := \overline{C^{\infty}_{0, \sigma}(\Omega)}^{||\cdot||_{H^1}} \\ Y &:= H^{1}_{0,\sigma}(\Omega) \cap L^n \end{align}
Supuestos sobre $a$ y $f$
(1.) $a \in L^2_\sigma$
(2.) $f(\cdot , t) \in L^2$ para casi todos $t \in (0,T)$ et $Pf \in L^1(0,t ; L^2_\sigma)$ donde $P$ es la proyección de Helmholtz desde $L^2$ en $L^2_\sigma$ .
Definición de solución débil
Una solución débil de (NS) es una función, $u$ el $\Omega \times [0,T)$ tal que:
(1.) $u \in L^2(0,T' ; H^{1}_{0,\sigma})$ para todos $T' \in (0,T)$
(2.) $u \in L^{\infty}(0,T ; L^{2}_{\sigma})$
(3.) $\int^s_{r} -(u,\partial_{t}\Phi) + (\nabla u , \nabla \Phi) + (u \cdot \nabla u, \Phi) \text{d}t = \int^s_r (f, \Phi) \text{d}t - (u(s), \Phi(s)) + (u(r), \Phi(r))$ para todos $0 \leq r \leq s < T$ y todos $\Phi \in H^1(r,s; Y)$ .
Teorema (Masuda, 1984)
Existe una solución débil, $u$ de (NS). En particular, esta función es continua débil en $L^2_\sigma$ con respecto a $t \in [0,T)$ et
$||u(t)||^2_{L^2(\Omega)} + 2 \int^{s}_{0} ||\nabla u(t)||^{2}_{L^2(\Omega)} \text{d}t \leq 2 \int^{s}_{0} (f, u) \text{d}t + ||a||^{2}_{L^2(\Omega)}$ para todos $0 \leq t < T$ (Desigualdad energética)
y $\lim_{t \rightarrow 0}||u(t) - a||_{L^2(\Omega)} = 0 \ \ \ $ (Continuidad en $t=0$ )
Toma, $(u,f)$ denota el producto interno de $u$ y $f$ en $L^2(\Omega)$ . Es decir, $(u,f) = \int_{\Omega} u \cdot f \ \text{d}x$ .
Explicamos el significado de la continuidad débil de $u$ . $u$ es débilmente continua en $L^2(\Omega)$ con respecto a $t \in [0,T)$ si:
$(u(t), g) = \int_{\Omega} u(t) \cdot g \ \text{d}x$ es continua en $t$ para todos $g \in L^2_\sigma$ .
Prueba de la existencia (Esquema)
(Por favor, siéntase libre de saltarse esto y ver el problema de continuidad restante en $t=0.$ )
He demostrado la existencia de una solución débil, $u$ como se describe en la definición anterior. También he demostrado que este $u$ es débilmente continua en $L^2_\sigma$ con respecto a $t$ y satisface la desigualdad de la energía.
Lo demostramos utilizando un método Galerkin. Encontramos un conjunto contable $\{\phi_l \}_{l=1}^{\infty} \subseteq C^{\infty}_{0,\sigma}$ cuya extensión es densa en $Y$ y en $L^{2}_{\sigma}$ (con respecto a sus normas respectivas).
A continuación, definimos $u_{m}(x,t) = \sum^m_{l=1} c_{ml}(t) \phi_{l}(x)$ donde $c_{ml}$ son soluciones en $C^1(0,T)$ a la siguiente ODE localmente Lipschitz:
\begin{cases}\text{d}_t c_{ml} + \sum^m_{i=1} (\nabla \phi_{i} , \nabla \phi_{l})c_{mi} + \sum^m_{i,j=1} (\phi_i \nabla \phi_{j} , \nabla \phi_{l})c_{mi}c_{mj} = (f,\phi_l), \ \text{for all } l=1,...,m \\ c_{ml}(0) = (a, \phi_l), \ \text{for all } l=1,...,m. \end{cases}
Encontramos que estos $u_m$ están acotadas uniformemente en $L^2(0,T' ; H^{1}_{0,\sigma})$ para todos $T' \in (0,T)$ y en $L^{\infty}(0,T ; L^{2}_{\sigma})$ . Por tanto, al tratarse de espacios de Hilbert, existen subsecuencias que convergen débilmente. Es fácil demostrar que $u_m$ convergen a la misma función, $u$ en ambos espacios. De este modo hemos satisfecho (1.) y (2.) de la definición de Soluciones Débiles. Podemos utilizar Arzela-Ascoli para demostrar que esta $u$ es continua débil, como se ha descrito anteriormente. Véase esta pregunta anterior para más detalles sobre la convergencia débil y la continuidad débil de $u$ .
Utilizando la convergencia débil y la definición de $u_m$ demostramos que $u$ satisface la desigualdad energética. Utilizando la convergencia débil y varios lemas del artículo de Masuda, demostramos que $u$ satisface la ecuación integral (3.) de la definición de Soluciones Débiles.
El último problema pendiente, la continuidad en $L^2$ en $t=0$
Sólo queda demostrar que $\lim_{t \rightarrow 0}||u(t) - a||_{L^2(\Omega)} = 0$ . De hecho, ¡¡¡Masuda no menciona esta propiedad en su demostración del teorema!!!
Sabemos que $u$ es débilmente continua con respecto a $t$ como se ha explicado anteriormente. Además, por la definición de $u_m$ Cada $u_m$ es continua con respecto a $t$ . Es decir, $u_m \in C((0,T); L^2_{\sigma})$ para todos $m$ .
Sospecho que esto debería bastar para obtener el resultado final, pero me cuesta mostrarlo sin exigir una continuidad uniforme. Aquí está mi intento inicial de demostrar:
$\lim_{t \rightarrow 0}||u(t) - a||_{L^2(\Omega)} = \lim_{t \rightarrow 0}(u(t) - a, u(t) - a) $
$ = \lim_{t \rightarrow 0} \lim_{m \rightarrow \infty}(u(t) - a, u_{m}(t)) - (u_{m}(t) - a, a)$
Por un paso anterior en la prueba de existencia, sabemos que $(u_{m}(t), g)$ converge como $m \rightarrow \infty$ uniformemente con respecto a $t$ . (Véase también esta pregunta anterior para más detalles). De ahí el término de la derecha, $(u_{m}(t) - a, a)$ converge uniformemente con respecto a $t$ . Por lo tanto, podemos intercambiar la posición de los límites en $t$ y $m$ . Por definición de $u_m$ es evidente que $\lim_{m \rightarrow \infty} ||u_m(t=0)||_{L^2(\Omega)} = ||a||_{L^2(\Omega)}$ por lo que el término de la derecha desaparece.
Nos quedamos con el término a la izquierda, $\lim_{t \rightarrow 0} \lim_{m \rightarrow \infty}(u(t) - a, u_{m}(t))$ . Como se demuestra en otra pregunta anterior sabemos que, para cada $m$ es continua en $t$ . Así podríamos demostrar que este término desaparece, si somos capaces de intercambiar los límites en $t$ y $m$ .
Sé que podríamos hacer esto si tenemos convergencia uniforme de nuevo, pero no estoy seguro de si esto es posible, ya que ahora tenemos dependencia de $t$ para ambos lados del producto interior. Tenemos acotación uniforme de este término, ya que el $u_m$ están uniformemente acotadas en $L^2(0,T' ; H^{1}_{0,\sigma})$ para todos $T' \in (0,T)$ y $L^{\infty}(0,T ; L^{2}_{\sigma})$ por lo que podríamos obtener una convergencia uniforme demostrando la equicontinuidad. Pero no estoy seguro de si esto se puede hacer.
En resumen, la cuestión es la siguiente: ¿podemos intercambiar los límites en $t$ y $m$ en $\lim_{t \rightarrow 0} \lim_{m \rightarrow \infty}(u(t) - a, u_{m}(t))$ ? ¿O hay otra manera de demostrar que $\lim_{t \rightarrow 0}||u(t) - a||_{L^2(\Omega)} = 0$ ?
