Hallar el valor de los parámetros desconocidos para que la serie converja

Question

¿Cómo puedo enfocar este ejercicio?

Buscar todos los posibles $a, b, c \in\mathbb{R}$ tal que la serie $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{a^k}{k^b (lnk)^c}$ es convergente.

Answer 1

Sea $$ x_k = \frac{a^k}{k^b(\ln k)^c} $$ denotan el $k$ término de la serie. Esto va a ser como un torbellino, así que pregunta si algo no está claro.

El factor $a^k$ indica que la prueba de la proporción puede ser un buen punto de partida y, de hecho, puesto que $$ \bigg|\frac{x_{k+1}}{x_k}\bigg| = |a|\cdot\bigg(\frac{k}{k+1}\bigg)^b\bigg(\frac{\ln k}{\ln(k+1)}\bigg)^c, $$ vemos que la serie converge si $|a|<1$ y diverge si $|a|>1$ . Si $|a|=1$ la prueba no es concluyente.

Ahora hay dos casos: $a=1$ y $a=-1$ .

Si $a=1$ utilice el botón Prueba de condensación de Cauchy . Obtenemos que la serie converge si y sólo si la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{2^{nb}n^c} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n(1-b)}}{n^c} $$ converge. Utilizando la prueba de razón, vemos que la serie diverge si $b < 1$ y converge si $b>1$ . En caso de que $b=1$ la serie converge si $c>1$ y diverge si $c\leq 1$ .

Si $a=-1$ la serie es una serie alterna y convergerá si y sólo si $$ \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k^b(\ln k)^c} = 0. $$ Dejo en sus manos la determinación de los criterios que hacen que esto se mantenga.

Answer 2

Si necesita encontrar $a,b,c$ entonces se puede demostrar primero que la serie converge para $|a| < 1$ y diverge para $|a| > 1$ independientemente de $b,c$ . Entonces para $|a| = 1$ se puede demostrar que la serie converge si $b > 1$ y diverge para $b < 1$ si $a = 1$ independientemente de $c$ y si $a = -1$ entonces la serie converge si $b > 0$ independientemente de $c$ y también converge si $b = 0$ y $c > 0$ de lo contrario diverge. Entonces se puede demostrar si $a = 1$ y $b = 1$ entonces la serie converge si y sólo si $c > 1$ .

No estoy seguro de qué herramientas tienes disponibles, pero creo que para los casos más sutiles ( $a = 1$ ) que la prueba de condensación de Cauchy sería muy útil, pero no sé si la tienes a tu disposición, así que lo de arriba es un esbozo de prueba de cómo romper en casos para probar (y también un esbozo de la respuesta final).