Estoy tratando de encontrar una forma cerrada para la integral de abajo y me encontré con la siguiente conjetura mediante un equipo de búsqueda (y algunos afortunados conjeturas): $$\int_0^\pi\frac{x\,\cos\frac x3}{\sqrt[3]{\sin x}}dx\stackrel{\color{#A0A0A0}?}=\frac{\pi\sqrt[3]2}{24}\big(7\pi\sqrt3-9\ln3\big).\tag1$$ Podría usted por favor me ayude a encontrar una prueba de ello?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como escribí en mi otro post, la referencia más completa para varias de las integrales es Prudnikov-Brychkov-Marichev. Aquí basta con utilizar la fórmula 2.5.12.36 de Vol. 1: $$\int_0^{\pi}\sin^{\mu-1}x\sin bx\,dx=\frac{2^{1-\mu}\pi\Gamma\left(\mu\right) \sin \frac{b\pi}{2}}{\Gamma\left(\frac{\mu+1-b}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\mu+1+b}{2}\right)}.\tag{1}$$ (Para la prueba, hacer el cambio de variables $t=e^{2i x}$ $\displaystyle\int_0^{\pi}e^{ibx}\sin^{\mu-1}x\,dx$ y reducir la resultante de la integración de contorno a la rama de corte $t\in[0,1]$.)
Diferenciación (1) con respecto a $b$, obtenemos \begin{align} &\int_0^{\pi}x\sin^{\mu-1}x\cos bx\,dx=\\=&\,\frac{2^{-\mu}\pi\Gamma\left(\mu\right) }{\Gamma\left(\frac{\mu+1-b}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\mu+1+b}{2}\right)}\left\{\pi\cos\frac{\pi b}{2}+\left[\psi\left(\frac{\mu+1-b}{2}\right)-\psi\left(\frac{\mu+1+b}{2}\right)\right]\sin\frac{b\pi}{2}\right\}. \end{align} Configuración $b=\frac13$, $\mu=\frac23$ y el uso de ese $\psi\left(\frac23\right)-\psi\left(1\right)=\frac{\pi\sqrt{3}-9\ln 3}{6}$ (de hecho, la función digamma de cualquier argumento racional tiene una escuela primaria de la expresión) los rendimientos $$\int_0^{\pi}\frac{x\cos\frac{x}{3}\,dx}{\sqrt[3]{\sin x}}=2^{-\frac23}\pi\left\{\pi\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{\pi\sqrt{3}-9\ln 3}{12}\right\},$$ que es equivalente a la conjetura resultado.
