Intuición tras la integral directa de una familia de espacios de Hilbert

Question

Para entender mejor la versión matemáticamente rigurosa del formalismo de Dirac en Mecánica Cuántica he estado leyendo sobre integrales directas de espacios de Hilbert, medidas con valores de proyector y cosas así. Aunque la definición de las integrales directas de los espacios de Hilbert que he visto es bastante clara, simplemente no he podido entender la idea que hay detrás.

La definición que tengo es la siguiente:

Definición 1 : Sea $\mu$ sea una medida de Radon en $\sigma$ -compacto localmente compacto espacio de Hausdorff $X$ . Un campo medible de espacios de Hilbert es una colección $\{H_x : x \in X\}$ de espacios de Hilbert junto con un subespacio lineal $\mathcal{S}$ de $\prod_{x\in X}H_x$ cuyos elementos se denominan secciones medibles que satisfacen los siguientes axiomas:

• Si $\eta\in \prod_{x\in X}H_x$ entonces $\eta\in \mathcal{S}$ sólo si $x\mapsto \langle \xi(x),\eta(x)\rangle$ es medible para todo $\xi \in \mathcal{S}$ .
• Existe una secuencia $(\xi_n)$ en $\mathcal{S}$ tal que para casi todos los $x\in X$ el tramo lineal cerrado de $\xi_n(x)$ es $H_x$ .

Definición 2 : Sea $\mu$ sea una medida de Radon en $\sigma$ -compacto localmente compacto espacio de Hausdorff $X$ et $\{H_x: x\in X\}$ un campo medible de espacios de Hilbert sobre $X$ . Definimos la integral directa de la $H_x$ el conjunto de todos los $\xi \in \mathcal{S}$ (módulo coincidente en conjuntos de medida cero) tal que $\int_X |\xi(x)|^2d\mu(x) < \infty$ y denotamos esta integral directa por

$$\int_X^{\oplus}H_x d\mu(x).$$

En la integral directa tenemos el producto interior

$$\langle \xi,\eta\rangle = \int_X \langle \xi(x),\eta(x)\rangle_{H_x}d\mu(x),$$

que convierte la integral directa en un espacio de Hilbert.

Ahora bien, aunque la definición en sí es clara, no consigo entender la intuición que hay detrás. Tenemos una colección de espacios de Hilbert indexados por un espacio topológico con una medida de Radon. Consideramos entonces un subespacio lineal del producto, que satisface dos propiedades.

Esta es mi primera pregunta: ¿cuál es la intuición que hay detrás de las propiedades definitorias de una sección medible? ¿Qué estamos definiendo realmente?

Después, basta con elegir todas las secciones medibles con la propiedad de que la integral del cuadrado de la norma de los vectores en cada punto convergen.

Esta es mi segunda pregunta: ¿cuál es la intuición que hay detrás de esta definición? ¿Qué intentamos definir realmente con esta construcción de la integral directa?

La suma directa, por ejemplo, puede entenderse de forma intuitiva como el espacio de sumas de elementos de cada espacio solo. En el caso de la integral directa no veo una inución simple como esa.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: yo también soy nuevo en el tema y, por tanto, no entiendo estas cosas a un nivel muy profundo.

Una cosa que las integrales directas hacen rigurosa es el concepto de vectores propios de operadores que, en una terminología de mecánica cuántica, pertenecen a un espacio distinto del de los estados físicos $\psi$ . En los libros de mecánica cuántica se suele decir que los valores propios del operador de posición son las funciones delta $d_{x_0}(x) = \delta(x-x_0)$ . Si el espacio de estados es, por ejemplo $L^2$ (como conjunto de clases de equivalencia de funciones regulares), entonces por supuesto no contiene distribuciones delta y por tanto el operador de posición $P: L^2 \to L^2$  tiene vectores propios fuera de $L^2$ .

Puede ser útil considerar primero un caso menos general de la integral directa. Además, los detalles de mensurabilidad pueden ignorarse al principio. Establezca $X = \mathbb{R}$ y que $H_x$  sea un espacio de Hilbert para todo $x \in \mathbb{R}$ . Ahora nos gustaría pegar todos los espacios $H_x$  para obtener un espacio (la integral directa) formado por objetos $s$ que son funciones de $\mathbb{R}$ a la colección $\bigcup_{x \in \mathbb{R}} H_x$ en cierto sentido. En $s$  también exigimos que para cada $x \in \mathbb{R}$  tenemos $s(x) \in H_x$ . Ahora bien $H_x = \mathbb{R}$ para cada $x$ entonces $s$  sería una función $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Para restringir aún más qué tipo de elementos pertenecen a la integral directa, suponemos que $s$  satisface $$ \int_{\mathbb{R}} \langle s(x), s(x) \rangle_{H_x} d \mu(x) < \infty\,, $$ que en realidad no es más que una condición de integrabilidad cuadrada más abstracta. De nuevo, si $H_x = \mathbb{R}$  para cada $x$ obtenemos el espacio $L^2$ .

Ahora si tenemos un operador de posición en la integral directa, funciona así: $$ P: \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} H_x \, d \mu(x) \to \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} H_x \, d \mu(x) \,, \quad [P(s)](x) = x s(x)\,. $$ Recuerde que $[P(s)](x) \in H_x$ . Ahora bien $P$  tenía un valor propio $\lambda$ con el vector propio $s_\lambda$ obtenemos $P(s_\lambda) = \lambda s_\lambda$ . Puntualmente esto es $$ [P(s_\lambda)](x) = [\lambda s_\lambda](x) = \lambda s_\lambda(x)\,, $$ donde $s_\lambda(x) \in H_x$ . Ahora, de nuevo, si $H_x = \mathbb{R}$ esto sería un vector propio regular en $L^2$ . Del operador $[Pf](x) = x f(x)$ .

Ahora, en mecánica cuántica, a menudo afirmamos que las funciones $\delta(x-x_0)$  son funciones propias del operador de posición en $L^2$ desde $x \delta(x-x_0) = x_0 \delta(x-x_0)$ . Si en la integral directa fijamos $H_x$  sea algún espacio de distribuciones que contenga las funciones delta, entonces la sección $d(x) = 0$  para $x \neq x_0$  y $d(x_0) = \delta(\cdot - x_0)$ tiene sentido. Ahora $$ [P(d)](x) = [xd](x) = x d(x) = \begin{cases} x_0 \delta( \cdot - x_0) \,, \quad x = x_0 \\  0\,, \quad x \neq x_0  \end{cases} $$ que es la misma que la sección $x \mapsto x_0 d(x)$ . Así pues, la "sección delta" es un vector propio del operador de posición. Recordemos que nuestro operador de posición actúa sobre la integral directa. Por lo tanto, si la integral directa es nuestro espacio de estados de la mecánica cuántica, entonces podemos tener todos los regulares $L^2$  en la integral directa, sino también las distribuciones delta que son los vectores propios del operador de posición.

Los detalles de mensurabilidad no son realmente relevantes para la intuición; están ahí sólo para asegurarse de que todas las normas integrales y productos internos en la integral directa tienen sentido. También la "base simultánea" $(\xi_n)$  es un detalle técnico para que todo funcione bien.

En conclusión, la integral directa es una versión más general de la integral normal. $L^2$  lo que también flexibiliza la noción de vectores propios.