El ínfimo de un gradiente sobre el conjunto $\mathbb{R}^d$

Question

Sea $\{f_k\}:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ sea una secuencia de $C^1$ que converge puntualmente a 0. ¿Es cierto que $$\lim_{k\to+\infty}\inf_{x\in\mathbb{R}^d}|\nabla f_k(x)|=0?$$

Si $d=1$ Creo que el resultado es verdadero, pero ¿qué ocurre si d>1? Creo que se pueden construir contraejemplos, quizás construyendo una secuencia de funciones para las que el módulo del gradiente permanece acotado lejos de 0 pero el módulo de cada derivada parcial oscila entre 0 y un cierto valor, manteniendo el módulo del gradiente total por encima del umbral.

Presentaré las pruebas del caso $d=1$ .

Tomemos un conjunto compacto $A\subset \mathbb{R}$ que tiene interior no vacío, entonces claramente $$\limsup_{k\to+\infty}\inf_{x\in\mathbb{R}^d}|f^{\prime}_k(x)|\leq\limsup_{k\to+\infty}\inf_{x\in A}|f^{\prime}_k(x)|.$$

Centrémonos en la parte derecha de la expresión anterior: supongamos que existe $l>0$ tal que $$\limsup_{k\to+\infty}\inf_{x\in A}|f^{\prime}_k(x)|\geq l.$$ Entonces $\forall k$ debido a la compacidad, existe $x_k\in A$ tal que $$\limsup_{k\to+\infty}|f^{\prime}_k(x_k)|\geq l.$$ Pero entonces, siendo $x_k$ un punto de mínimo, se cumple lo siguiente $$\limsup_{k\to+\infty}|f_k^{\prime}(x)|\geq l\qquad\forall x\in A.$$ Pasando a una subsecuencia que no volveré a etiquetar, esto implica que $\forall k\in\mathbb{N}$ o bien $f_k^{\prime}(x)\geq l/2$ para cada $x\in A$ o $f_k^{\prime}(x)\leq -l/2$ para cada $x\in A$ debido a la continuidad de $f_k^{\prime}$ .

Ahora toma un intervalo $[x,y]\in A$ (con $x<y$ ) y utilizar el teorema fundamental del cálculo para escribir $$f_{k}(y)-f_k(x) = \int_x^yf_k^{\prime}(t)\textrm{d}t.$$ Tomando el límite a ambos lados y utilizando la convergencia puntual de la secuencia $f_k$ conduce ahora a una contradicción.

Quizá mi prueba sea demasiado complicada, pero me parece que funciona. Háganme saber lo que piensan, especialmente del caso $d>1$ .

Answer 1

He aquí el esquema de la construcción.

Empezaremos considerando una media tira vertical ascendente, cuyo límite izquierdo se llamará positivo (mostrado en rojo) y el derecho negativo (mostrado en azul) y realizaremos la siguiente construcción (la generación 1 y la generación 3 se muestran en las dos imágenes siguientes; el resto del trabajo de la tira se ilustrará en las generaciones 2):

Esta fue la generación 1.

Y esa es la generación 3. Cómo proceder debe estar claro ahora (si no, mira la generación 2 a continuación).

Obsérvese que en la generación $k$ convertimos cada lado en un $3^{-k}$ árbol denso y tenemos una franja sinuosa entre estos árboles uno de cuyos lados es positivo y el otro negativo. Ahora expandamos un poco cada árbol en un dominio con límites suaves (la expansión puede hacerse tan pequeña como queramos).

Nuestra función será $\varepsilon=3^{-k}$ en el límite del dominio rojo y $-\varepsilon=-3^{-k}$ en el límite del dominio azul. Podemos hacer una foliación suave de la banda amarilla sinuosa con líneas transversales de longitud alrededor de $3^{-k}$ como se muestra (las partes en las que los límites son verdaderas rectas paralelas son triviales). Podemos hacer un descenso a lo largo de cada línea con gradiente alrededor de $1$ la mayor parte del tiempo, mientras que cerca de los puntos extremos podemos declarar cualquier derivada normal mayor que $1$ que queramos siempre que dependa suavemente del punto (el valor exacto vendrá determinado por lo que ocurra dentro de los dominios).

Dentro de los dominios dibujaremos las líneas de nivel de función de la siguiente manera (eliminando efectivamente el crecimiento de una generación cada vez):

La cuestión es que podemos mover las líneas de nivel a velocidad $\le 1$ para mantener el gradiente por encima de $1$ por lo que nos vemos obligados a añadir $3^{-\ell}$ a la función al colapsar el nivel $\ell$ brotes. Afortunadamente, la suma de la progresión geométrica es su término mayor, por lo que mantenemos la función en el nivel $3^{-\ell}$ alrededor de la parte del árbol que añadimos al pasar de generación $\ell-1$ a generación $\ell$ . Llamaré a esta parte $\ell$ -intervalos de generación. Nótese que todos ellos están situados en una cuadrícula discreta fija de líneas (me daba pereza hacer esa imagen, pero la haré si alguien realmente la quiere).

En general, la función aumenta en el dominio rojo y disminuye en el azul, según las flechas de abajo:

Ahora viene el análisis. Esta función es de orden $3^{-k}$ fuera de los dominios azul y rojo que pueden ser de cualquier anchura $\delta_k>0$ que queremos. Sin embargo, si mantenemos la imagen en su sitio, los árboles originales quedarán mal. Así que lo desplazaremos por alguna secuencia decreciente $\mu_k>0$ tanto en sentido vertical como horizontal exigiendo que los intervalos $(\mu_k-4\delta_k,\mu_k+4\delta_k)$ son disjuntos. Entonces, para cada nivel $\ell$ El $\delta_k$ vecindades de las, digamos, líneas horizontales en las que el $\ell$ -son finalmente disjuntos (esto ocurre tan pronto como $\mu_k$ es demasiado pequeño para que un desplazamiento de una línea de cuadrícula pueda intersectar otro desplazamiento de una línea de cuadrícula. diferente línea de cuadrícula). Así, para cualquier $\ell\ge 0$ cada punto fijo sólo puede estar en un número finito de $\delta_k$ barrios de los desplazados $\le \ell$ -intervalos de generación, es decir, al final la función cae por debajo de $3^{-\ell}$ y se queda ahí.

Esto le da un ejemplo en una media tira. Lo decisivo es que podemos hacer estos pequeños desplazamientos y que las líneas límite tienen el punto de partida. La posibilidad de desplazamiento se debe a la foliación del plano en líneas verticales y la foliación transversal en las horizontales. Así que hay que hacer algo así pero que lo cubra todo. La solución es la foliación en espirales dobles y la foliación transversal en rayos desde el origen:

Las espirales son de anchura unitaria fuera del disco de radio $1$ y logarítmica en el interior. Esto crea un bonito sistema de coordenadas entre las líneas roja y azul fuera de una vecindad arbitrariamente pequeña del origen y podemos simplemente replantar toda nuestra construcción allí. ¿Qué hacer cerca del origen? Resulta que no tenemos que hacer nada porque las propias espirales ya están muy cerca de allí (tenemos que reducir gradualmente las vecindades con $k$ a $0$ por supuesto). Entonces, si detenemos las espirales en algún punto, las extendemos a dominios lisos estrechos y hacemos la foliación transversal de la franja intermedia, podemos simplemente hacer el descenso recto del rojo al azul como antes sin forzar ningún valor pequeño del gradiente:

Al cabo de una o dos vueltas, nuestro sistema de coordenadas entra en acción y la expansión ulterior de la franja no es motivo de preocupación.

El resultado es que cada punto excepto el origen es finalmente cubierto por el sistema de coordenadas y nuestro árbol sin sentido y también decide entre qué dos rotaciones de las espirales rojo/azul se queda (por lo que las coordenadas se vuelven finalmente consistentes), por lo que es bueno en términos de convergencia a $0$ . Pero el origen siempre es bueno (si observas detenidamente las funciones out, te darás cuenta de que en realidad son impar). Los escapes a lo largo de las espirales son, por supuesto, los mismos que a lo largo de las líneas límite de la media banda.

Eso es todo (salvo pequeñas formalidades aburridas relacionadas con $C^1$ -suavidad).

Describir imágenes con palabras no es mi fuerte, pero si tienes problemas para entender algo, no dudes en preguntar.