Demuéstralo: $(\forall \epsilon > 0 )(\forall x \in K)(\exists U \in O(x))(\forall f \in Z)(\forall y \in U) | f(x) - f(y) | < \epsilon$ .

Question

Sea $K$ sea un espacio compacto y $Z \subseteq C(K, \mathbb{R})$ compacta, en topología métrica $T_{d_{\infty}}$ en $C(K, \mathbb{R})$ que es inducida por la métrica $d_{\infty}$ . Demuéstralo:

$(\forall \epsilon > 0 )(\forall x \in K)(\exists U \in O(x))(\forall f \in Z)(\forall y \in U) | f(x) - f(y) | < \epsilon$ .

P.D. $C(K, \mathbb{R}) $ es el conjunto de todas las funciones continuas de $ K$ a $ \mathbb{R}$ .

No estoy seguro de qué técnica debo utilizar para solucionar esto. Cualquier sugerencia será de ayuda.

Answer 1

Suponiendo que $K$ es Hausdorff y $d_\infty$ es la métrica inducida por la norma uniforme $C(X,\Bbb R)$ la afirmación que hay que demostrar es un corolario de Teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos de Hausdorff .