Teorema del residuo, doble polo, sinh.

Question

¿cómo puedo utilizar el teorema del residuo para calcular $$\int_{-\infty}^\infty dx\, \frac{e^{-i x}}{(\sinh x)^2}$$

Estoy confundido acerca de cómo abordar el doble polo en $x=in\pi$ . Gracias.

Answer 1

Para calcular el residuo de $f$ en $z_0$ para un polo de orden $m$ tenemos

$$\text{Res}(z_0,f(z))=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left((z-z_0)^n f(z)\right)$$

Así, para $f(z)=\frac{e^{-iz}}{(\sinh z)^2}$ , $n=2$ y $z=im\pi$ tenemos

$$\begin{align} \text{Res}(im\pi,f(z))&=\frac{1}{(2-1)!} \lim_{z\to im\pi}\frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}}\left((z-im\pi)^2 \frac{e^{-iz}}{(\sinh z)^2}\right)\\\\ &=\lim_{z\to im\pi}\frac{d}{dz}\left((z-im\pi)^2 \frac{e^{-iz}}{(\sinh z)^2}\right) \end{align}$$

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Nota: La integral de interés diverge en $x=0$ ¡!