Ejemplo de reflejo de una función .

Question

Lo que está pasando aquí : $\partial U $ es plana y $x^o \in \partial U $ es el centro de la esfera, supongamos $\partial U $ ser plana cerca de $x^0 $ y $x_n=0$ Estoy buscando un ejemplo concreto para apreciar lo que sucede cuando defino la función de la siguiente manera. El ejemplo puede ser en 1d o 2d. Gracias por su ayuda.

$U$ es un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb R^n$ . Creo que plano aquí significa que el $\partial U$ divide la bola simétricamente . No estoy muy seguro.

El clip de texto es de Ecuaciones diferenciales parciales por Lawrence C. Evans, p. 225, capítulo 5. En la segunda edición ( p. 269, sección 5.4 ), $C^\infty$ ha sido sustituido por $C^1$ .

Answer 1

Es una forma constructiva de ampliar una función $u$ a través de una parte plana de la frontera para obtener un $C^1$ función $\bar u$ . Si desea utilizar la reflexión, defina $$\bar u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n)=u(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n),$$ entonces $\bar u$ para un continuo $u$ será continua en $B$ . Es sencillo comprobar que $\bar u$ como se define en el libro tiene todas las derivadas continuas de primer orden en $B$ . En realidad sólo se comprueba la continuidad de $\partial u/\partial x_n$ cuando $x_n=0$ es necesario. Análogamente, es posible que $u\in C^m(\bar B_+)$ para obtener una función $$ \bar u(x_1,\ldots,x_{n-1},-x_n)=\sum_{k=1}^{m+1}\alpha_k u(x_1,\ldots,x_{n-1},x_n/k) $$ pertenencia a la clase $C^m(\bar B)$ con la elección adecuada de las constantes $\alpha_k$ .

Answer 2

El ejemplo adecuado para trabajar es $x_n^k$ para k=0,1,2... Por supuesto, las otras variables no importan aquí, así que $x_n$ puede ser simplemente $x$ . Introduciendo esto en la fórmula de reflexión, se ve que para k=0,1 da el mismo monomio. Esto indica que la extensión es $C^1$ suave. Para k=2 ya no funciona; se necesitaría otro término en la fórmula de reflexión para conseguir $C^2$ como escribió @Andrew.