En primer lugar, observe que si $p=\infty$ la conclusión del problema se deduce inmediatamente tomando $f\equiv1$ .
Por lo demás, supondré que $\phi$ es tal que $\phi f\in L_p(\mu)$ para todos $f\in L_p(\mu)$ donde $(X,\mathcal{F},\mu)$ es $\sigma$ -finito, y $1\leq p<\infty$ .
Para completar el argumento del PO parece inevitable que, en las condiciones del problema, haya que demostrar primero el operador producto $M_\phi:f\mapsto \phi f$ en $L_p(\mu)$ está limitada. Esto puede hacerse apelando a la potencia de Teorema de la categoría de Baire por ejemplo teorema del mapa abierto , el teorema de Banach-Steinhause (alias principio de acotación uniforme ), etc. Aquí -según lo sugerido por @JochenGlueck- presento un enfoque basado en la teorema del grafo cerrado (corolario del teorema del mapa abierto). Hacia el final, presentaré una solución diferente al problema que no hace uso del teorema de la categoría de Baire.
Finalización del argumento del OP: Supongamos en primer lugar que el operador de multiplicación $M_\phi$ está limitada. Entonces, para alguna constante positiva $c$ , $\|M_\phi f\|_p\leq c\|f\|_p$ para todos $f\in L_p(\mu)$ . Si $\phi\notin L_\infty(\mu)$ para cada $N\in\mathbb{N}$ el conjunto $A_N=\{|\phi|>N\}$ tiene medida positiva, y $\sigma$ -finitud proporciona un conjunto $E_N\subset A_N$ con $0<\mu(E_N)<\infty$ . Defina $$ f_N=\frac{1}{(\mu(E_N))^{1/p}}\mathbb{1}_{E_N}$$ Observamos que $f_N\in L_p(\mu)$ y $\|f_N\|_p=1$ . Sin embargo $$c^p=c^p\|f_N\|^p_P\geq\|M_\phi f_N\|^p_P=\int_X|\phi f_N|^p\,d\mu\geq N^p,\quad N\in\mathbb{N}$$ es decir, $c>\sqrt[p]{N}$ para todos $N\in\mathbb{N}$ . Se produce una contradicción.
Ahora demostramos que
Lemma: Bajo las condiciones del problema, $M_\phi$ está limitada.
Prueba: Apelamos aquí al teorema del grafo cerrado. Supongamos que $\{f_n:m\in\mathbb{N}\}\subset L_p(\mu)$ es tal que $$(f_n,M_\phi f_n)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}(0,y)$$ en $L_p(\mu)\times L_p(\mu)$ . Entonces $x_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0$ en $L_p(\mu)$ y $\phi f_n\xrightarrow{n\rightarrow\infty}y$ en $L_p(\mu)$ . Se deduce que a lo largo de una subsecuencia $n_k$ , $f_{n_k}\xrightarrow{k\rightarrow\infty}0$ y $M_\phi f_{n_k}=\phi f_{n_k}\xrightarrow{k\rightarrow\infty}y$ por puntos $\mu$ -a.s. en consecuencia, $y=\phi\cdot 0=0$ por lo tanto, $\operatorname{Graph}(M_\phi)$ está cerrado, y $M_\phi$ está limitada por el teorema del grafo cerrado.
Solución alternativa al problema: Para cada $n\in\mathbb{N}$ definan los conjuntos $$A_n=\{x\in X: n<|\phi(x)|\leq n+1\}$$ Si $\phi\notin L_\infty(\mu)$ entonces hay infinitas $A_{n}$ con $\mu(A_n)>0$ . Podemos elegir una subsecuencia estrictamente creciente $n_k$ tal que $\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{n_k}<\infty$ y $\mu(A_{n_k})>0$ .
Desde $\mu$ es $\sigma$ -finito, hay subconjuntos $E_{n_k}\subset A_{n_k}$ tal que $0<\mu(E_{n_k})<\infty$ . Defina $$ f=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{n_k(\mu(E_{n_k}))^{1/p}}\mathbb{1}_{E_{n_k}}$$ donde $\mathbb{1}_A$ representa la función indicadora del conjunto $A$ . Observe que $f\in L_p$ desde $\int_X|f|^p\,d\mu=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{n^p_k}<\infty$ . Sin embargo $$\begin{align} \int_X|\phi f|^p\,d\mu =\sum^\infty_{k=1} \frac{1}{n^p_k \mu(E_{n_k})}\int_{E_{n_k}}|\phi|^p\,d\mu\geq \sum^\infty_{k=1}1=\infty \end{align} $$ Esto contradice la hipótesis de que $\phi f\in L_p(\mu)$ para todos $f\in L_p(\mu)$ .
Observación 1. $\sigma$ -puede sustituirse por la semifinalidad ( $\mu$ es semifinito si $A\in\mathcal{F}$ con $\mu(A)>0$ contiene un subconjunto $B\in\mathcal{F}$ con $0<\mu(B)<\infty$ ).
Observación 2. En la solución alternativa, una vez establecido que $\phi\in L_\infty(\mu)$ ), obtenemos que el operador de multiplicación $M_\phi:f\mapsto \phi f$ en $L_p(\mu)$ está limitada. Con un poco de esfuerzo adicional (semi finitud), incluso se puede demostrar que $$\sup_{\|f\|_p=1}\|M_\phi f\|_p=\|\phi\|_\infty$$
