¿Son equivalentes estas dos versiones de Lowenheim-Skolem?

Question

Estoy leyendo una prueba del teorema de Lindstrom (Si una lógica más fuerte que la lógica de primer orden satisface Lowenheim-Skolem y la compacidad, entonces es equivalente a la lógica de primer orden), pero su formulación de "esta lógica satisface Lowenheim-Skolem" es un poco diferente a la teoría Lowenheim-Skolem a la que estoy acostumbrado.

Incluyo aquí ambas formulaciones:

Answer 1

No, no son equivalentes. La propiedad $LoSko(\mathcal{L})$ es el más débil versión de la propiedad Lowenheim-Skolem para la lógica de primer orden que se considera (al menos que yo sepa); se utiliza porque conduce a la más fuerte versión del teorema de Lindstrom (ya que arroja una hipótesis más débil).

(Por cierto, trabajando con la versión ligeramente más fuerte $LoSko^+$ (véase más adelante) hace que la demostración del teorema de Lindstrom sea significativamente más sencilla, ya que no hay que preocuparse de expresar la teoría relevante en una sola frase. Si vas a presentar el teorema, te recomiendo que lo hagas de esta manera y que al final menciones cómo se puede mejorar).

---

De hecho, la siguiente propiedad es estrictamente más fuerte que $LoSko$ :

$LoSko^+(\mathcal{L})$ se cumple si conjunto contable de $\mathcal{L}$ -tiene un modelo contable.

Para producir una lógica satisfactoria $LoSko$ pero no $LoSko^+$ obviamente necesitamos trabajar en una lógica sin conjunciones infinitas, así que la lógica infinita queda descartada. Y la lógica de segundo orden ni siquiera satisface $LoSko$ así que eso también está descartado. De hecho, no natural lógica que yo conozca proporciona un contraejemplo. Sin embargo, se pueden construir fácilmente contraejemplos no naturales.

Una forma de hacerlo es la siguiente. Fijar una teoría completa de primer orden $T$ con contablemente infinitos modelos contables $\{M_i: i\in\mathbb{N}\}$ hasta isomorfismo. Sea $\mathcal{L}$ sea la lógica regular más pequeña que contenga lógica de primer orden y sentencias $\psi_i$ diciendo "Yo no soy $M_i$ "para cada $i\in\mathbb{N}$ . No es difícil demostrar que esta lógica satisface $LoSko$ En esencia, porque añadir unas pocas frases que recojan exactamente una estructura no cambia gran cosa, aparte de destruir absolutamente la compacidad. Pero está claro que $\mathcal{L}$ no tiene $LoSko^+$ ya que $T\cup\{\psi_i: i\in\mathbb{N}\}$ es satisfacible pero no tiene modelos contables.