Demostrar que este mapa no tiene la propiedad de ir hacia abajo.

Question

Sea $A= k[x_1,x_2,y] / (x_2^2-x_1^2(x_1+1))$ y $Spec(A) \to Spec(k[x_1,x_2,y])$ la inclusión natural inducida por la proyección $k[x_1,x_2,y] \to A$ . Considere el mapa $f : Spec(k[x,y]) \to Spec(A)$ inducida por el homomorfismo de anillo $A \to k[x,y]$ , $x_1 \mapsto x^2 - 1$ , $x_2 \mapsto x(x^2-1)$ , $y \mapsto y$ .

Demuestra que $f$ no tiene la propiedad de ir hacia abajo.

Sugerencia: considere los ideales primos $(x-1,y)$ y $(y-(x+1))$ .

Lamentablemente, a pesar de la presencia de la pista no entiendo exactamente cómo tengo que proceder ... por favor, ¿hay alguien que me pueda ayudar de la misma manera?

Muchas gracias. Saludos

Answer 1

$\newcommand{\ideal}[1]{{\mathfrak{#1}}}$ $\newcommand{\spec}[1]{{\mathrm{Spec}}\left({#1}\right)}$

Llame a $\ideal{p} = (y - (x+1))$ y $\ideal{m} = (x-1,y)$ ideales de $k[x,y]$ . Más información $\ideal{n} = \ideal{m} \cap A = (x_1, x_2, y)$ . Ahora $\ideal{p} \subseteq \ideal{m}' = (y,x+1)$ y $\ideal{m}' \cap A = \ideal{n}$ . Así que

$$\ideal{p} \cap A \subseteq \ideal{m}' \cap A = \ideal{n} = \ideal{m} \cap A$$

Ahora sostengo que $\ideal{p}$ es el único ideal de $k[x,y]$ que yace sobre $\ideal{p} \cap A$ . Así, como $\ideal{p} \not\subseteq \ideal{m}$ no se cumple.

Queda por demostrar que $\ideal{p}$ es el único ideal de $k[x,y]$ que se encuentra sobre $\ideal{p} \cap A$ . Esto se deduce del isomorfismo entre $D(x_1) \subseteq \spec{A}$ y $D((x-1)(x+1)) \subseteq \spec{k[x,y]}$ . Esto corresponde al isomorfismo

$$A_{x_1} \cong k[x,y]_{x^2-1}$$

que no he comprobado con todo detalle, pero que deben existir por razones geométricas: Las líneas $V(x-1)$ y $V(x+1)$ en $\spec{k[x,y]}$ corresponden a la línea $l$ que es la extrusión del punto nodal $(x_1=x_2 =0)$ de la curva nodal $C = V(x_2^2-x_1^2\,(x_1+1))$ a lo largo del $y$ -eje. Todos los demás puntos se mapean 1-1. Como $\ideal{p} \in D(x^2-1)$ y $\ideal{p} \cap A \in D(x_1)$ sólo $\ideal{p}$ puede yacer sobre $\ideal{p} \cap A$ .