Propiedad de mapeo universal de grupos abelianos libres

Question

Sea S un conjunto y $F=F_S$ el grupo libre sobre S. Sea $F'$ sea el subgrupo conmutador de $F$ . Establecer $A=A_S = F/F'$ y llamarlo grupo abeliano libre en $S$ . Demostrar la propiedad de mapeo universal del grupo abeliano libre: para cualquier función $f:S \rightarrow G$ siendo G un grupo abeliano, existe un único homomorfismo de grupo $\varphi:A \rightarrow G$ de modo que el diagrama

$S \xrightarrow{f} G$ ,
$S \xrightarrow{a \mapsto [a]} A$ ,
$A \xrightarrow{\varphi} G$

desplazamientos.

Hicimos una prueba de esto para grupos libres en clase pero no estoy seguro de cómo aplicarlo a esto. Creo que parte de mi problema es que estoy teniendo dificultades para averiguar cómo son los elementos de A. Will $A=\{[s](a^{-1}b^{-1}ab) \vert a,b,s \in S\}$ ? Si es así, ¿podría enviar $\varphi(w)$ a $f(w)$ con $w \in F$ ?

Answer 1

La libertad no tiene nada de especial. Dado un grupo $G$ y un morfismo $f:G \to A$ con $A$ abeliano, $f$ debe factorizarse a través de la abelianización de $G$ que es $G / [G,G]$ .

Para ser precisos: Esto significa que existe un único $\tilde f$ con $\tilde f \circ \pi = f$ donde $\pi$ es el mapa cociente.

Answer 2

Bueno, ahora es bastante estándar para denotar un general conmutativa (y asociativa) como $+$ .

Entonces, con esta notación (teniendo en cuenta que es conmutativa), el conjunto que buscas es $A=\{"x+y"\mid x,y\in S\}$ donde $x+y=y+x$ ahora.
El morfismo natural $\theta:F\to A$ es un suryecto y envía una palabra al desordenado suma' de sus letras.

Dado que cualquier permutación (de las letras de las palabras) puede estar compuesta por inversiones (es decir, intercambios), el núcleo de $\theta$ será igual al subgrupo conmutador $F'$ .

Answer 3

En primer lugar grupo abeliano libre (en su sentido) es obviamente conmutativa porque u matar conmutador. Ahora bien, si tenemos cualquier grupo abeliano $G$ y función $f:S\rightarrow G$ entonces tenemos un morfismo único $f_*:F\rightarrow G$ . Ahora sabemos que $[F,F]\subset ker(f_*)$ por lo que tenemos una factorización única $f_*=gh$ donde $h:F\rightarrow A$ es la proyección canónica y $g:A\rightarrow G$ morfismo único que buscas. En segundo lugar se puede demostrar fácilmente que $A_S=\bigoplus_S\mathbb Z\subset \prod_S\mathbb Z$ . Se trata de un subgrupo del producto generado por secuencias que no son $0$ sólo en una coordenada.