¿cómo continuar después de esta sustitución?

Question

Dado $abc=1$ demuestre que $${\frac{a}{a^2+2}}+ {\frac{b}{b^2+2}}+{\frac{c}{c^2+2}} \leqslant 1$$

Probé la sustitución $a={\frac{1}{x}},b={\frac{1}{y}},c={\frac{1}{z}}$ pero no puede terminar.

Answer 1

Sea $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ tenemos que demostrar

$$\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+2y^2}\le 1$$ Ahora como $x^2+y^2\ge 2xy$ basta con demostrar

$$\sum_{cyc}\frac{x}{2x+y}\le 1$$ $$\iff \sum_{cyc} \frac{y}{2x+y}\ge 1$$ lo cual es cierto ya que

$$\sum_{cyc} \frac{y}{2x+y}= \sum_{cyc} \frac{y^2}{2xy+y^2}\ge \frac{{(x+y+z)}^2}{2xy+y^2+2zx+x^2+2yz+z^2}=1$$