Ecuación de movimiento de un fotón en una métrica determinada

Question

Tengo esta métrica: $$ds^2=-dt^2+e^tdx^2$$ y quiero encontrar la ecuación de movimiento (de x). por eso he pensado que tengo dos opciones:

1. el uso de E. L. con el Lagrangiano: $L=-\dot t ^2+e^t\dot x ^2 $.

2. utilizando el hecho de que para un fotón $ds^2=0$: $0=-dt^2+e^tdx^2$ y luego: $dt=\pm e^{t/2} dx$.

El problema es que (1) me da $x=ae^{-t}+b$ y (2) me da $x=ae^{-t/2} +b$.

Answer 1

Si la solución no es null geodésica entonces es malo para una partícula sin masa.

La razón de ir por mal camino es que de Lagrange se dan en (1) es incorrecta para partículas sin masa. La acción general para una partícula (masiva o sin masa) es:

$$ S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \left( \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 + \frac{m^2}{\sigma(\xi)}\right), $$

donde $\xi$ es arbitraria worldline parámetro y $\sigma(\xi)$ variable auxiliar que deben ser eliminados por su ecuación de movimiento. También tenga en cuenta la notación

$$ \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2\equiv \pm g_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}X^\mu}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}X^\nu}{\mathrm{d}\xi}, $$

modulo la métrica convención de signos (no he comprobado que es el adecuado para su convención). Compruebe que para $m\neq 0$ esta acción se reduce a la costumbre de acción para una enorme partícula. Para la masa caso, sin embargo, consigue

$$ S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2. $$

La ecuación de movimiento para $\sigma$ da la restricción

$$ \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 = 0, $$

por un valor null geodésica. Esto es necesario y coherente para partículas sin masa, como usted sabe.

La ecuación de movimiento para $X^\mu$ (EDIT: Uy, me olvidé un plazo aquí. Tenga en cuenta que $g_{\mu\nu}$ depende de $X$, por lo que un término que involucra $\partial_\rho g_{\mu\nu}$ entra en la variación. Trate de trabajar para ti mismo. Voy a arreglar las siguientes ecuaciones hasta más tarde):

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\sigma g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\xi}\right)=0, $$

pero usted puede cambiar el parámetro de $\xi\to\lambda$, de modo que $\sigma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}$, por lo que la ecuación de movimiento se simplifica a

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}\right)=0, $$

lo que usted debería ser capaz de resolver para conseguir algo para satisfacer el null constraint.

Answer 2

Hay una forma elegante de hacer esto mediante simetrías.

Aviso de que este parámetro es el espacio de la traducción de todos los idiomas, por lo que tiene una matanza de vectores $\partial_x$. Hay una correspondiente cantidad conservada $c_x$ a lo largo de geodesics $x^\mu(\lambda)$ dada por \begin{align} c_x = g_{\mu\nu}\dot x^\mu(\partial_x)^\nu = e^t\dot x \end{align} Donde un overdot denota la diferenciación con respecto a los afín parámetro. Por otro lado, el hecho de que el geodésica es un (null) fotones geodésica lo largo de la cual $ds^2 = 0$ da \begin{align} 0=-\dot t^2 + e^t\dot x^2 \end{align} Esto forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que no es realmente tan difícil de resolver. Sugerencia: Tratar de resolver la primera ecuación para $\dot x$, y, a continuación, conectar en la segunda ecuación.

Answer 3

I) en 1+1 dimensiones de la luz de cono (basado en algún momento) está a sólo dos de intersección de las curvas, que son, precisamente, determinado por la condición de

$$\tag{1} g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~=~0,$$

y una condición inicial cf. OP del segundo método. Sin embargo, este eq. (1) no se podrá determinar la luz-como geodesics en dimensiones superiores.

II) OP primer método, es decir, de variar el Lagrangiano

$$\tag{2} L~:=~ g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} $$

es, en principio, también correcta. Es un buen ejercicio para demostrar que Euler-Lagrange las ecuaciones son las geodésicas de la ecuación. Sin embargo, parece que el OP identifica erróneamente el parámetro de $\lambda$ de la línea geodésica con el $x^0$-coordinar. Estos son dos cosas diferentes! En 1+1 dimensiones, tenemos dos coordenadas $x^0$$x^1$. Hay dos Euler-Lagrange las ecuaciones. La solución completa para $\lambda\mapsto x^0(\lambda)$ $\lambda\mapsto x^1(\lambda)$ todos geodesics: el tiempo-como, de la luz y del espacio.

Dado que sólo estamos interesados en la luz como geodesics, también nos tienen que imponer eq. (1) en el de Euler-Lagrange método.

III) Si se hace una transformación de coordenadas

$$\tag{3} u~=~\exp(-\frac{x^0}{2})\quad\text{and}\quad v~=~\frac{x^1}{2}, $$

a continuación, OP métrica se convierte en

$$\tag{4} \frac{4}{u^2}(-du^2+dv^2)$$

que es, por ejemplo, también se considera en este Phys.SE post (hasta un total factor constante). Obviamente, la luz-como geodesics son de la forma

$$\tag{5} v-v_0~=~ \pm (u-u_0). $$