Está colapsando considera una prueba legítima?

Question

Por ejemplo, si quiero demostrar que la $2^n - 1 = 1 + 2 + 4 + 8 +...+ 2^{n-1}$ I no puede, obviamente, el uso de la inducción y que es aceptado. Pero también puedo colapso como:

Para Demostrar $2^n = S(n)$:

1. $S(n) = (1 + 1) + 2 +...+ 2^{n-1}$
2. $S(n) = (2 + 2) + 4 + 8 +...+2^{n-1}$
3. $S(n) = (4 + 4) + 8 +...+2^{n-1}$

y así sucesivamente hasta que $S(n) = 2^{n-1} + 2^{n-1} = 2^n$

Es este método de colapsar considerado legítimo y presentable prueba?

Answer 1

Bueno, algo así, pero en realidad, escribir pruebas como la que quiero escribir es por qué la inducción existe. Cuando la gente dice algo como "y así sucesivamente hasta", que están expresando su intuición de que es posible continuar con el argumento por inducción. El punto entero de que el método de la inducción es hacer intuiciones como esta precisa.

Deje $S(k)=2^k + 2^k + 2^{k+1} + 2^{k+2} + ... + 2^{n-1}$. Entonces lo que queremos mostrar es que el $S(0) = 2^n$. La prueba básicamente viene a decir $S(0) = S(1) = S(2) = ...$ "y así sucesivamente", hasta que llegamos $S(0) = S(n-1)$. Observe que $S(n-1) = 2^{n-1} + 2^{n-1}$, lo que obviamente es igual a $2^n$. Así, obtenemos $S(0) = 2^n$. A esta frase como una prueba por inducción, vamos a probar por inducción que $S(0) = S(k)$ todos los $k<n$, con lo que obtendremos $S(0)=S(n-1)$ al final.

Obviamente, $S(0) = S(0)$. Ahora supongamos $S(0) = S(k)$. Entonces:

$$\begin{align}S(0) &= S(k) \\&= 2^k + 2^k + 2^{k+1} + 2^{k+2} + ... + 2^{n-1} \\&= 2\cdot2^k + 2^{k+1} + 2^{k+2} + ... + 2^{n-1} \\&= 2^{k+1} + 2^{k+1} + 2^{k+2} + ... + 2^{n-1}\\&=S(k+1)\end{align}$$

Answer 2

Esto depende mucho del grado de rigor que usted desea.

Si quieres ser realmente riguroso, o necesita, entonces usted necesita para formalizar "así sucesivamente" al demostrar por inducción que $$ 1 + \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^k + \sum_{i=k}^{n-1} 2^i \quad \text{para todos los $k = 0, \dotsc, n$}, $$ la que se muestra la declaración de $k = n$.

Si usted está satisfecho con menos rigor, y creo que la mayoría (leer: casi todos) los matemáticos será en un caso como este, a continuación, "así" es lo suficientemente bueno, como la idea detrás de la prueba es bastante claro. Es, sin embargo, es importante que usted es capaz de dar una prueba formal.

Answer 3

De los cursos: cada finito $n$ tiene absolutamente convergente la serie que le permite manipular los miembros en una manera que usted lo está haciendo. Aunque parece si desea presentar la prueba en una manera más formal, la inducción ocupará menos espacio.

Answer 4

el consenso aquí parece ser: "sí, la prueba está bien, pero más bien informal, ya que invoca la inducción 'codificado' en el 'y-así-en "estado de cuenta". No estoy de acuerdo. En mi humilde opinión esto no es ninguna prueba en absoluto y no hay inducción argumento dado.

1. El Argumento comienza con la afirmación (corto de restar uno de ambos lados de la ecuación). ¿Por qué molestarse y continuar?
2. Las modificaciones realizadas en el fin de llegar a la siguiente línea son completamente claro para mí. Son todos los elementos en la serie doblado? A continuación, el resultado (lado izquierdo) debe ser doblado así pero no lo es?