Intento comprender la demostración del siguiente teorema:
Teorema 2.20 (Fórmula del producto). Si $S$ y $T$ son subgrupos de un grupo finito $G$ entonces $$|ST|\, |S \cap T| = |S|\,|T|.$$
Observación. El subconjunto $ST$ no tiene por qué ser un subgrupo.
Prueba. Definir una función $\varphi: S \times T \to ST$ por $(s, t) \mapsto st$ . Desde $\varphi$ es una suryección, basta con demostrar que si $x \in ST$ entonces $|\varphi^{-1}(x)| = |S \cap T|$ . Demostramos que $\varphi^{-1}(x) = \{(sd, d^{-1}t): d \in S \cap T\}$ . Es evidente que $\varphi^{-1}(x)$ contiene el lado derecho. Para la inclusión inversa, sea $(s, t), (\sigma, \tau) \in \varphi^{-1}(x)$ Eso es, $s, \sigma \in S$ , $t, \tau \in T$ y $st = x = \sigma \tau$ . Así, $s^{-1}\sigma = t\tau^{-1} \in S \cap T$ dejar $d = s^{-1}\sigma = t\tau^{-1}$ denotan su valor común. Entonces $\sigma = s(s^{-1}\sigma) = sd$ y $d^{-1}t = \tau t^{-1}t = \tau$ según se desee. $\quad \square$
Creo que están usando eso \begin{equation}\tag{1} S \times T = \text{Dom} \varphi = \bigcup_{x \in \text{Im}\varphi} \varphi^{-1}(x) = \bigcup_{x \in ST} \varphi^{-1}(x), \end{equation} y así, $$|S||T|=|S \times T|=\sum_{x \in ST} |\varphi^{-1}(x)| = \sum_{x \in ST} |S \cap T| = |ST||S\cap T|.$$ Pero si eso es lo que están utilizando, no entiendo por qué dicen "Desde $\varphi$ es una suryección, basta...", porque para demostrar que $(1)$ no necesitamos eso $\phi$ es una suryección, es válida para todas las funciones. Entonces, ¿por qué dicen eso?
