Cómo demostrarlo $\sum_{n\le x}(\psi(\frac xn)-\vartheta(\frac xn))\Lambda (n)=O (x) $

Question

Estoy tratando de demostrar que $$\sum_{n\le x}(\psi(\frac xn)-\vartheta(\frac xn))\Lambda (n)=O (x) $$

Después de algunos cálculos, llegué a $$O (\sqrt{x}\log x\sum_{m=1}^\infty x^{\frac 1m} (\frac{1}{\sqrt{2}})^m)$$

Así que tengo que evaluar esa suma. ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Observación: Esta pregunta está relacionada con el problema 4.22 del libro de Apostol. En el problema se pide demostrar que la fórmula asintótica de Selberg es equivalente a

$$\vartheta (x)\log x+\sum_{p\le x}\vartheta (\frac xp)\log p=2x\log x+O (x) $$

Mi idea era mostrar primero que

$$\vartheta (x)\log x+\sum_{n\le x}\vartheta (\frac xn)\Lambda (n)=2x\log x+O (x) $$

Por lo tanto, he necesitado demostrar que

$$\sum_{n\le x}(\psi(\frac xn)-\vartheta(\frac xn))\Lambda (n)=O (x) $$

Answer 1

$$\sum_{n\le x}(\psi(\frac xn)-\vartheta(\frac xn))\Lambda (n)=O(\sum_{n \le x}(\frac xn)^{1/2} (\psi(n+1)-\psi(n)))\\ = O(\psi(x)+\sum_{n \le x}((\frac xn)^{1/2}-(\frac x{n+1})^{1/2}) \psi(n)) $$

$$ = O(x+\sum_{n \le x}((\frac xn)^{1/2}-(\frac x{n+1})^{1/2}) n)= O(x+\sum_{n \le x} (\frac xn)^{1/2}) = O(x)$$

donde utilicé $\psi(x)-\psi(x/2) = O(\log {x\choose x/2} ) = O(x)$ ,

$\psi(x) = O(x)$ , $\psi(x)-\vartheta(x) = O(x^{1/2})$ y la suma parcial.