¿Cómo aproximar esta integral?

Question

Me pregunto cómo encontrar una expresión para aproximar: $$f(x)=\int_{x}^\infty \frac{x}{\sigma a^2 {\sqrt {2\pi (a^2-x^2)}} } e^{-\frac{(\log(a)- \mu )^2}{2\sigma^2}}\mathrm{d}a$$

No sé si puede expresarse exactamente en términos de funciones elementales. ¿En qué dirección o temas de estudio necesito aproximarlo?

Mi otro objetivo es tratar la variable $x$ con la función de distribución de probabilidad $a(x-b)f(x)$ donde $a$ , $b$ son constantes positivas. Entonces estimaría $\sigma$ y $\mu$ a partir de mediciones (de algunos objetos geológicos reales).Estoy cursando estudios universitarios de matemáticas.

Answer 1

Primero haría el cambio de variables $a=x\tau$ El resultado es $$f(x)=\int_{x}^\infty \frac{x}{\sigma a^2 {\sqrt {2\pi (a^2-x^2)}} } e^{-\frac{(\log(a)- \mu )^2}{2\sigma^2}}\mathrm{d}a=$$ $$\frac{1}{\sigma |x|\sqrt{2\pi}}\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}\tau}{\tau^2\sqrt{\tau^2-1}}\exp\left[-\frac{(\log\tau+\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\ .$$ A continuación, llamaría a $\log\tau=z$ El resultado es $$\frac{1}{\sigma |x|\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}z}{e^z\sqrt{e^{2z}-1}}\exp\left[-\frac{(z+\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\ .$$ Esta integral aún no puede expresarse de forma cerrada. Sin embargo, se puede construir un esquema de aproximación sistemática mediante una expansión en serie $$\frac{1}{\sqrt{X-1}}\simeq \frac{1}{\sqrt{X}}+\frac{1}{2}\frac{1}{X^{3/2}}+\frac{3}{8}\frac{1}{X^{5/2}}+\ldots\ ,$$ aplicado a $X=e^{2z}$ . Por lo tanto, la integral (con $A=\mu-\log x$ ) $$\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}z}{e^z\sqrt{e^{2z}-1}}\exp\left[-\frac{(z-A)^2}{2\sigma^2}\right]\simeq \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}z}{e^z\times e^z}\exp\left[-\frac{(z-A)^2}{2\sigma^2}\right]+$$ $$\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}z}{e^z\times e^{3z}}\exp\left[-\frac{(z-A)^2}{2\sigma^2}\right]+\frac{3}{8}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}z}{e^z\times e^{5z}}\exp\left[-\frac{(z-A)^2}{2\sigma^2}\right]+\ldots\ ,$$ Cada una de estas integrales puede expresarse ahora en forma cerrada, y la aproximación puede hacerse tan buena como se desee incluyendo más y más términos. Por ejemplo, incluyendo los tres primeros términos, la expresión aproximada es la siguiente $$f(x)\simeq \frac{1}{\sigma |x|\sqrt{2\pi}}\left[\frac{1}{8} \sqrt{\frac{\pi }{2}} \sigma e^{2 \sigma ^2-6 A} \left(8 e^{4 A} \left(\text{erf}\left(\frac{A-2 \sigma ^2}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)+4 e^{2 A+6 \sigma ^2} \left(\text{erf}\left(\frac{A-4 \sigma ^2}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)+3 e^{16 \sigma ^2} \left(\text{erf}\left(\frac{A-6 \sigma ^2}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)\right)\right]\ ,$$ donde $\mathrm{erf}$ es la función Error.