Rango probatorio de $(I_n-{1\over n}A_n)$ es $n-1$ donde $A_n$ es $n\times n$ con todas las entradas $1$

Question

Se nos pidió encontrar una matriz simétrica idempotente $H$ con rango $n-1$ tal que si $X$ es un vector columna con $n$ observaciones, entonces ${1\over n}X^THX$ es la varianza de las observaciones en $X$ .

He encontrado la matriz (para $n$ obs) ser $H_n=I_n-{1\over n}A_n$ donde $I_n$ es la matriz identidad de dimensión $n\times n$ , $A_n$ es de nuevo $n\times n$ siendo todas las observaciones $1$ y $H_n$ es la matriz requerida.

Fue fácil demostrar que esto es simétrico e idempotente pero me estoy enfrentando a dificultades para demostrar que su rango es $n-1$ . Sin embargo, es fácil ver $R_1+R_2+\dots+R_n=0$ donde $R_i$ es el $i^{th}$ fila. Así que su rango es estrictamente menor que $n$ .
También noté $R_1+R_2+\dots+R_n-R_i\ne0$ para cualquier $i$ .
¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Denota el vector columna de todos los $1$ s por $\mathbf1$ tenemos $$H=I_n-\frac{1}{n}\mathbf{11}^\top$$

Efectivamente, como usted dice, $H$ es una matriz idempotente. Entonces sabemos que $$\mathrm{rank}(H)=\mathrm{trace}(H)=\mathrm{trace}(I_n)-\mathrm{trace}\left(\frac{1}{n}\mathbf{11}^\top\right)=n-1$$

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También podemos utilizar algunas desigualdades de rango triviales, aunque esto es bastante innecesario para demostrar el resultado:

Sabemos que que para dos matrices cualesquiera $A$ y $B$ teniendo el mismo orden, $$\mathrm{rank}(A-B+B)\le \mathrm{rank}(A-B)+\mathrm{rank}(B)$$

O, $$\mathrm{rank}(A-B)\ge |\mathrm{rank}(A)-\mathrm{rank}(B)|$$

Observando que $\mathbf{11}^\top$ es un rango $1$ aplicando esta desigualdad sobre $H$ obtenemos,

$$\mathrm{rank}(H)\ge n-1$$

Ahora podemos demostrar que $\mathrm{rank}(H)$ nunca es $n$ (la única otra posibilidad) del hecho que $$\det(H)=1-\frac{1}{n}\mathbf1^\top\mathbf1=1-1=0$$

Así que debe ser que $$\mathrm{rank}(H)=n-1$$

Answer 2

Para demostrar el rango de $H$ es $n-1$ podemos considerar el sistema lineal $HX = 0$ y demostrar que las dimensiones del espacio de soluciones es $1$ . El sistema $HX = 0$ puede escribirse como

\begin{align*} (S)\left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& \ldots &x_n &=& n x_1 \\ x_1 &+& x_2 &+& \ldots &x_n &=& n x_2 \\ \vdots && &&&\vdots && \vdots \\ x_1 &+& x_2 &+& \ldots &x_n &=& n x_n \\ \end{matrix} \Muy bien. \Fin. ahora resta la primera línea a todas las demás líneas : \begin{align*} (S) &\Longleftrightarrow & \left\{\begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& \ldots &x_n &=& n x_1 \\ &&&&& 0 &=& n (x_2-x_1) \\ &&&&&\vdots&& \vdots \\ &&&&& 0 &=& n (x_n-x_1) \\ \end{matrix} \derecha. \\ & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{matrix} x_1 &+& x_2 &+& \ldots &x_n &=& n x_1 \\ &&x_2&&& &=& x_1 \\ &&&\ddots&&&& \vdots \\ &&&&& x_n &=& x_1 \\ \end{matrix} \derecha. \Fin. A continuación restamos todas las líneas $2, \ldots, n$ a la línea $1$ para obtener \begin{align*} (S) &\Longleftrightarrow & \left\{\begin{matrix} x_2&& &=& x_1 \\ &\ddots &&& \vdots \\ &&x_n &=& x_1 \\ \end{matrix} \De acuerdo. \Fin. cuyas soluciones son las $1$ -generado por $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}$ .

Answer 3

Sea $e_k = (1, \omega^k, \omega^{2k}, \ldots, \omega^{(n-1)k})$ donde $\omega=e^{2\pi i/n}$ . Ha demostrado que $e_0$ está en el espacio nulo de $H$ . Para $0<k<n$ , $e_k$ es un vector propio de $H$ del valor propio $1$ . Como el $(e_k)$ son independientes (¿por qué?), esto demuestra que el rango es $n-1$ .