En la geometría algebraica derivada existen varias configuraciones diferentes, es decir, a veces utilizamos $E_{\infty}$ anillo, algunas cosas usamos dg-algebra,... Es para diferentes situaciones. Pero ¿podría alguien dar algunos ejemplos que ilustran en qué problema que utilizamos relevante "estructura derivada" ( $E_{\infty}$ anillo, dg-álgebra...)? ¿Algunas motivaciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Éstas son las dos motivaciones que conozco:
El número 1 procede de la topología algebraica. La referencia definitiva es http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf que lo explica mucho mejor que yo. A grandes rasgos, las teorías cohomológicas orientadas complejas están representadas por anillos E-oo y se clasifican por sus leyes de grupo. La ley de grupo es lo que la teoría cohomológica hace con el producto tensorial de haces de líneas. Algunas leyes de grupo interesantes provienen de las curvas elípticas. Así que si eres muy atrevido, puedes tomar el espacio de moduli de las curvas elípticas, y asignar a cada punto el anillo E-oo que representa la teoría de cohomología que se ajusta a la ley de grupo de la curva elíptica. El resultado debería ser una gavilla de anillos E-oo sobre el espacio de moduli de las curvas elípticas, o en otras palabras, una estructura derivada de anillos E-oo.
El número 2 procede de las clases fundamentales virtuales de la geometría algebraica. Kontsevich en la sección 1.4 de http://arxiv.org/pdf/hep-th/9405035 sugirió que para tipos específicos de espacios de moduli (aquellos con una teoría de obstrucción perfecta) debería existir una estructura derivada de dg-álgebras. La estructura de dg-álgebras debería provenir de presentaciones locales como intersección de submanifolds, como se discute en esta pregunta: ¿Fórmula de intersección de Serre y geometría algebraica derivada? . Kontsevich sugirió que mediante una fórmula de Riemann-Roch se obtendría la clase fundamental virtual necesaria en la teoría de Donaldson-Thomas y en la teoría de Gromov-Witten.
