generador de un espacio vectorial

Question

Me topé con un ejercicio en el que tenía que determinar un valor k dentro de S :(A1,A2,A3), siendo A1,A2 y A3 matrices de 2x2, de forma que S genere un espacio vectorial. (k siendo al menos una vez en cada matriz)

Normalmente resuelvo para encontrar la base comprobando la independencia lineal y obteniendo así el valor de k. Pero aquí, ya que sólo hay 3 matrices dentro de S que son 2x2 me sale una matriz 4x3 para la que no puedo comprobar de determinante así que estoy un poco despistado en este punto cómo resolver para k.

Lo siento si mis palabras no parecen lógicas, no estoy familiarizado con todos los términos ingleses para este tipo de ejercicios.

Answer 1

Sea $M$ ser tu $4 \times 3$ matriz. Quiere saber si $M$ tiene rango completo $3$ . Si desea utilizar determinantes, puede consultar $\det(M^TM)$ . Efectivamente, $M^TM$ será un $3 \times 3$ matriz que será invertible si y sólo si $M$ tiene rango completo $3$ .

Esto se deduce de $\ker M = \ker (M^TM)$ por lo que una matriz es inyectiva si y sólo si la otra lo es.