Espacio ideal máximo de $c_{\mathcal{U}}$

Question

Sea $\mathcal{U}$ sea un filtro sobre $\mathbb{N}$ . Defina

$$c_{\mathcal{U}} = \{{(x_n)\in \ell_\infty\colon \lim_{\mathcal{U}, n}x_n =0\}},$$ que es una C*-álgebra. ¿Existe una descripción topológica accesible del espacio ideal maximal de $c_{\mathcal{U}}$ ? ¿Al menos para los ultrafiltros?

Answer 1

(Utilizaré $\omega$ para el ultrafiltro, ya que el uso de una letra minúscula mejorará la legibilidad)

Tal y como yo lo veo, tu álgebra $c_\omega$ es simplemente $$ c_\omega=\{f:\ f(\omega)=0\}\subset C(\beta \mathbb N). $$ Así que usted puede hacer la identificación $c_\omega=C_0(\beta\mathbb N\setminus\{\omega\})$ .

Tenga en cuenta que $c_\omega$ es un ideal en $C(\beta\mathbb N)$ por lo que los ideales en $c_\omega$ son ideales en $C(\beta\mathbb N)$ . Esto es importante porque, con $\beta\mathbb N$ al ser compactos, los ideales de $C(\beta\mathbb N)$ son precisamente los conjuntos de funciones que aniquilan un subconjunto cerrado fijo.

Así, los ideales de $c_\omega$ son los conjuntos de la forma $$ \{f\in C_0(\beta\mathbb N\setminus\{\omega\}):\ f=0\ \mbox{ on }\{\omega\}\cup K\} $$ para un $K\subset\mathbb N\setminus\{\omega\}$ .

Concluimos que los ideales maximales de $c_\omega$ son de la forma $$ \{f\in C_0(\beta\mathbb N\setminus\{\omega\}):\ f(\omega)=f(\eta)=0\} $$ para algunos $\eta\in\beta\mathbb N\setminus\{\omega\}$ .