Supongamos que $V$ es Banach, $T$ es invertible en $L(V)$ con inversa $T^{-1}$ . Para un $S\in L(V)$ Supongamos $\|S-T\| < \frac{1}{\|T^{-1}\|}$ . Demuestre que
$$ \|S^{-1}-T^{-1}\|\leq \frac{\|T^{-1}\|}{1-\|S-T\|\|T^{-1}\|} $$
Pista: $S=[(S-T)T^{-1}+I]T$ .
Por la serie de Neumann, si $\|X\|<1$ entonces $I-X$ es invertible y $(I-X)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty X^n$ . Esto implica también $\|(I-X)^{-1}\|\le\sum_{n=0}^\infty\|X\|^n = \frac 1{1-\|X\|}$ . Ahora, usted tiene $$ ST^{-1} = I-(T-S)T^{-1}. $$ Por lo tanto, puesto que $\|(T-S)T^{-1}\|\le\|T-S\|\|T^{-1}\| < 1$ , $$ \|TS^{-1}\|\le\frac{1}{1-\|(T-S)T^{-1}\|}\,\le\,\frac{1}{1-\|T-S\|\|T^{-1}\|}. $$ Por lo tanto, $$ \|S^{-1}-T^{-1}\| = \|T^{-1}(T-S)T^{-1}TS^{-1}\|\le\|T^{-1}\|\|(T-S)T^{-1}\|\|TS^{-1}\| $$ implica la afirmación como $\|(T-S)T^{-1}\| < 1$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
