¿Por qué la QCD reticular utiliza masas más pesadas que las físicas para sus cálculos?

Question

Es un lugar común (por ejemplo aquí ), para que los cálculos de Lattice QCD se calculen utilizando masas de referencia (como la masa del pión) mayores que los valores físicos de esas cantidades.

A veces, se realizan múltiples cálculos con distintos valores más pesados para extrapolarlos al valor físico.

El problema es que la QCD no es totalmente independiente de la escala, aunque la constante de acoplamiento QCD sea adimensional.

Por ejemplo, he visto una afirmación creíble de que un estado de dineutrón ligado es estable a masas de quarks suficientemente superiores a las medidas experimentalmente (también aquí ), aunque los estados de dineutrón ligados no son estables a masas físicas.

Supongo que Lattice QCD utiliza masas mayores que las físicas porque es más difícil hacer los cálculos en las masas físicas que en las masas más pesadas que las físicas, pero me cuesta entender por qué debería ser así matemáticamente.

¿Podría alguien explicar la razón por la que los cálculos de QCD en celosía se realizan habitualmente con masas superiores a las físicas, en lugar de con masas físicas?

Answer 1

Los cálculos de QCD en celosía implican el cálculo de la inversa del operador de Dirac $\gamma\cdot D+m$ . La dificultad de invertir un operador está controlada por sus valores propios más pequeños, y el cálculo de la inversa del operador de Dirac se vuelve más difícil a medida que $am\to 0$ . El escalado exacto del coste computacional depende de los algoritmos. Antes se temía que las simulaciones realistas con masas físicas de quarks fueran prohibitivamente caras, pero tras algunas mejoras algorítmicas las cosas parecen ir mucho mejor. Actualmente $$ {\rm cost} \sim \left(\frac{1}{m}\right)^{(1-2)} \left(\frac{1}{a}\right)^{(4-6)} \left(L\right)^{(4-5)}, $$ y las simulaciones con masas físicas son caras, pero factibles.

Existe un problema adicional con $m\to 0$ que está relacionado con el hecho de que los efectos de volumen finito están controlados por $m_\pi L$ y $m_\pi^2\sim m_q$ . Este problema no es grave para las masas físicas, porque $m_\pi^{-1}\sim 1.4$ fm no es tan grande.

En cuanto a la masa de neutrones: $m_n-m_p$ está controlada por la diferencia de las masas de los quarks, en comparación con la autoenergía electromagnética del protón. Si dejamos que ambas masas (arriba y abajo) lleguen a cero, el neutrón acabará siendo más ligero que el protón (y, por tanto, estable). Existe un rango mágico de masas de quarks para el que $|m_n-m_p|<m_e$ para que tanto el neutrón como el protón sean estables.

Y el di-neutrón: En el mundo real, el deuterón es un estado ligado superficial, y el dineutrón apenas está ligado. No creo que esto sea un teorema, pero la intuición y la evidencia numérica sugieren que el dineutrón se volvería ligado para masas de quarks más pesadas.

Por último, como señaló David, los cálculos (multi) nucleónicos sufren un problema de ruido que está controlado por la masa del quark. La relación señal-ruido en un $A$ escalas del correlacionador de nucleones como $\exp(-A(m_N-3m_\pi/2)\tau)$ donde $\tau$ es la separación temporal a la que se calcula el correlacionador. El $\tau$ que nos interesa es una escala física (algo así como la inversa de la separación entre el estado básico y el primer estado excitado), y si acaso es mayor para estados más grandes. $A$ . Esto significa que los cálculos para $A>1$ se hacen típicamente para masas de quarks no físicas.

Answer 2

Esto es un suplemento a la respuesta de Thomas de marzo. Todavía no tengo la reputación suficiente para añadir un comentario, así que permítanme escribir algo no tan breve pero que espero siga siendo claro.

Aunque ciertos cálculos de QCD en celosía con masas físicas son actualmente factibles (y están en marcha), muchos proyectos siguen necesitando utilizar masas más pesadas. Esto es especialmente cierto en el caso de los trabajos en los que intervienen varios bariones, como los estudios sobre dineutrones mencionados en la pregunta. Por ejemplo, el reciente arXiv:1706.06550 sigue utilizando piones de ~800-MeV.

Un factor importante que complica estos cálculos con masas más ligeras es el problema de la relación señal-ruido. Para simplificar en exceso un argumento "clásico" atribuido a Peter Lepage la señal en estos cálculos decae como $\exp[-m_N t]$ donde $m_N$ es la masa del hadrón de interés (digamos un neutrón) y $t$ es el tiempo transcurrido desde su creación. El ruido $\sigma^2(t)$ sin embargo, decae como $\exp[-m_L t]$ donde $t$ es el mismo pero $m_L$ es la masa del estado más ligero que puede ser creado por el cuadrado del operador de creación. El cuadrado de un operador de creación de neutrones se acopla no sólo a un par neutrón--antineutrón, sino también a tres piones. Por tanto, se espera ver (y se ve) que la relación señal-ruido se degrada $\sim \exp\left[-(m_N - 3m_{\pi}/2)t\right]$ .

Este problema desaparece esencialmente en el límite de masa infinita de quarks, $m_q \to \infty$ donde esperamos $m_{\pi} \simeq \frac{2}{3}m_N$ sólo contando los quarks de valencia. Por otro lado, es más grave en el límite opuesto $m_q \to 0$ donde $m_{\pi} \to 0$ mientras que $m_N$ sigue siendo distinto de cero. Dado que hasta ahora no se ha encontrado ningún truco inteligente para resolver este problema (aunque se están realizando algunos esfuerzos), la degradación exponencial de la relación señal-ruido con masas más ligeras requeriría ingenuamente un aumento exponencial compensatorio de la estadística y, por tanto, del coste computacional. Las masas más pesadas que las físicas nos alejan del peor de los casos y hacen que los cálculos sean factibles con la tecnología existente.

Por otra parte, el lector atento se preguntará por qué no nos limitamos a hacer $t$ más pequeños (es decir, medir el nucleón o los nucleones en tiempos muy cortos tras su creación). Esta ha sido una importante fuente de progreso. Sin embargo, es más fácil decirlo que hacerlo, porque los operadores de creación se acoplan a todos los estados con los números cuánticos apropiados. Así que uno acaba con artefactos de "estado excitado" que decaen como $\exp[-m_H t]$ con $m_H > m_N$ . Por lo tanto $t$ debe ser lo suficientemente grande como para que las contaminaciones del estado excitado desaparezcan, pero lo suficientemente pequeña como para que las señales deseadas sigan siendo visibles por encima del ruido. (Este rango especial de $t$ a veces se denomina la ventana dorada .) Para poder utilizar $t$ La gente ha tenido que construir operadores de creación mejorados que tengan más solapamiento con el estado básico deseado y menos solapamiento con los estados excitados no deseados. Esto se ha hecho con bastante éxito (se menciona brevemente en la Sección III.A del arXiv:1706.06550 enlazado más arriba).

Como otro añadido a la respuesta de Thomas, permítanme también añadir que aunque $m_{\pi}^{-1} \simeq 1.4~\mbox{fm}$ "no es tan grande", para evitar artefactos de tamaño finito los cálculos de QCD en celosía requieren $L^4$ celosías con $L$ varias veces mayor que $m_{\pi}^{-1}$ . Para los cálculos más sencillos (en los que las masas físicas son factibles) puede bastar con tener $L\cdot m_{\pi} \gtrsim 4$ . Con un espaciado de red representativo $a \approx 0.1~\mbox{fm}$ Este $L \simeq 5.6~\mbox{fm}$ implica retículos de tamaño mínimo $60^4$ correspondientes a matrices de operadores de Dirac de dimensión $\gtrsim 4\cdot 12\cdot 60^4 \sim 6\times 10^8$ . Invertir decenas de miles de $\mbox{billion}\times\mbox{billion}$ matrices (dispersas) es factible, pero no fácil.

Por supuesto, las cosas se complican cuando el volumen de la red debe ser lo suficientemente grande como para contener dos bariones (posiblemente no ligados). Por tanto, el cálculo en arXiv:1706.06550 utiliza $L\cdot m_{\pi} \simeq 20$ que se consigue sobre todo gracias a las masas más pesadas que las físicas, pero también a una separación de red bastante grande. $a \approx 0.15~\mbox{fm}$ (lo que aumenta los artefactos de discretización que contaminan los resultados).