Algunas cuestiones básicas sobre el Principio de Máximo para Funciones Armónicas,

Question

He visto varias veces el argumento de la unicidad, pero no lo entiendo muy bien.

El argumento es que si dos funciones armónicas $f$ y $g$ coinciden en la frontera de algún dominio, entonces $f-g$ o $g-f$ es $0$ en el límite, y a partir de aquí las pruebas suelen afirmar que "por el principio máximo se sigue el resultado", es decir, $f$ es único.

¿De qué manera es esto un resultado del principio máximo?

Además, si $f$ armónico tiene valor límite = $0$ ¿no puede tener negativo valores dentro del dominio? Esto no contradiría el principio máximo.

Gracias,

Answer 1

El principio máximo tiene un principio dual: el principio mínimo. Esto puede verse sustituyendo $f$ con $-f$ entonces $-f$ también es armónico y su máximo se produce en la frontera por el principio de máximos.

Sea $D$ sea el dominio (con frontera). $\max_{x\in D} f(x) = -\min_{x\in D}(-f)(x)$ . Si el mínimo de $-f$ ocurrió en algún momento $y\in D$ entonces $\max_{x\in D}f(x) = -(-f)(y) = f(y)$ . Aplicando el principio máximo a $f$ sabes que $y$ debe estar en el límite y, por tanto, el mínimo de $-f$ también se produce en la frontera. Sustitución de $-f$ con $f$ ya tienes el resultado.

Esto también se puede comprobar con la fórmula de la integral de Poisson y se puede interpretar como que una función armónica que es cero en la frontera es cero en todas partes.