Es $\lim\limits_{n\to\infty}(A_{n+1}-A_{n})$ ¿Finito?

Question

La siguiente pregunta está relacionada con mi pregunta aquí sobre el comportamiento de esta secuencia $a_{n}=(1-\frac12)^{ \left( \frac12-\frac13 \right)^{...^{ \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)}}}$ . Ahora defino una nueva secuencia generada a partir de la secuencia enlazada por:

$A_{n}= \lfloor (2n!((1-\frac12)^{(\frac12-\frac13)^{...^{(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}}}) \rfloor$ donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función suelo. Mi pregunta es: ¿Es $\lim\limits_{n\to\infty}(A_{n+1}-A_{n})$ ¿Finito?

He calculado algunos términos para $(A_{n+1}-A_{n})$ y parece que la diferencia no crece lo suficientemente rápido como para llevar a la divergencia, lo que me lleva a suponer que el límite global es finito.

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Los términos pueden escribirse de forma mucho más sencilla:

$$A_n = \Bigl\lfloor 2n! \left( \frac{1}{2} \right)^{ {{\left( \frac{1}{6} \right)}^{\cdots} }^{ \left( \frac{n}{n+1} \right)}} \Bigr\rfloor$$

y con un poco de esfuerzo puede reemplazar $\left( \frac{1}{2} \right)^x$ a $2^{-x}$ que revela mejor la estructura del término:

$$\Bigl\lfloor 2n!\ 2^{{{\left(-6 \right)}^\cdots}^{\pm \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}} \Bigr\rfloor$$

Answer 1

Dada la alternancia de tu secuencia original, es fácil demostrar (a partir de lo ya dicho en tu post anterior) que $\frac{1}{2}\leq a_n<1$ para todos $n$ . Por lo tanto, $$A_{n+1}-A_n=$$ $$\lfloor (2n+2)!\cdot a_{n+1}\rfloor-\lfloor (2n)!\cdot a_n\rfloor>$$ $$(2n+2)!\cdot a_{n+1}-(2n)!\cdot a_n-1>$$ $$\frac{(2n+2)!}{2}-(2n)!-1=$$ $$(2n)!\left(2n^2+3n\right)-1.$$ Este último valor diverge claramente, al igual que el original.