¿Cómo puedo demostrar o refutar que el conjunto de las raíces de los polinomios trigonométricos con coeficientes enteros es denumerable?

Question

¿Cómo puedo demostrar que el conjunto de raíces de la polinomios trigonométricos CON coeficientes enteros es denumerable ? El concepto de polinomios trigonométricos tampoco me queda claro.

Sé demostrar que las raíces de los polinomios en una variable con coeficientes racionales son denumerables.

¿Puede alguien ayudarme a demostrarlo?

Answer 1

El polinomio trigonométrico es un polinomio de la forma $$W(x)=a_0 +\sum_{k=1}^n (a_k \cos kx +b_k \sin kx)$$ Si sustituimos $$\cos kx =\frac{e^{ikx} +e^{-ikx}}{2} \mbox{ } \sin kx =\frac{e^{ikx} -e^{-ikx}}{2i}$$ donde $i^2 =-1.$

Y entonces $z=e^{ix}$ entonces la ecuación $$W(x) =0$$ es equivalente a alguna ecuación $$P(z) =\sum_{l=0}^{2n} c_l z^l =0$$ Pero a partir del Teorema Fundamental del Álgebra la ecuación $$P(z)=0$$ tiene como máximo $2n$ soluciones dicen $\{z_1, z_2, z_3,....z_{2n}\}$ y cada ecuación $$\cos x =\frac{z_s +\overline{z_s }}{2} \mbox{ } \sin x =\frac{z_s -\overline{z_s}}{2i}$$ tiene a lo sumo soluciones contables para $s=1,2,...,2n.$

Por lo tanto, el conjunto $$\{ x:W(x) =0\}$$ es contable como unión finita de conjuntos contables.