¿Existen $k$ -¿puntos racionales que no son puntos cerrados?

Question

Sé que para un esquema $X$ localmente de tipo finito sobre un campo $k$ , $k$ -Los puntos racionales son pontos cerrados.

Si eliminamos la hipótesis de que $X$ es localmente de tipo finito sobre $k$ ¿hay alguna $k$ -¿puntos racionales que no son puntos cerrados?

Answer 1

Reduciendo al caso afín, su pregunta se reduce a lo siguiente: si $A$ es un álgebra sobre un campo $k$ no necesariamente finitamente generada, y $\mathfrak p$ es un primo de $A$ tal que $k \rightarrow A_{\mathfrak p}/\mathfrak p A_{\mathfrak p}$ es un isomorfismo, ¿es posible que $\mathfrak p$ sea un ideal no máximo? La respuesta es no.

Por hipótesis, la composición $k \xrightarrow{i} A \xrightarrow{\pi} A/\mathfrak p \xrightarrow{h} \operatorname{Quot}(A/\mathfrak p) = A_{\mathfrak p}/\mathfrak p A_{\mathfrak p}$ es un isomorfismo. Dado que

$$h \circ (\pi \circ i)$$

es una biyección, es en particular suryectiva, lo que implica que $h$ debe ser suryectiva. La subjetividad de

$$A/\mathfrak p \rightarrow \operatorname{Quot}(A/\mathfrak p)$$ implica que $A/\mathfrak p$ es un campo, es decir $\mathfrak p$ es máxima.

Answer 2

Sea $x\in X$ ser un $k$ -punto racional y $X=\bigcup U_i$ sea una cubierta abierta afín (no necesariamente finita). Entonces, $$ \overline{\{ x\}}^{(X)}=\overline{\{ x\}}^{(X)}\cap \left( \bigcup U_i\right) = \bigcup \left( \overline{\{ x\}}^{(X)}\cap U_i\right)=\bigcup_{U_i\ni x} \left( \overline{\{ x\}}^{(U_i)}\right). $$ Si se verifica el caso afín, $\overline{\{ x\}}^{(U_i)}=\{x\}$ desde $x $ es también $k$ -racional en $U_i$ . Así que.., $$ \overline{\{ x\}}^{(X)}=\{x\}. $$ Por lo tanto, podemos reducir al caso afín.