Un problema de operador nilpotente

Question

Sea $U$ ser un $n$ -sobre $\Bbb{R}$ y $n\geq 1$ . Supongamos que $T \in L(U)$ es nilpotente de grado $n$ . Demuestre que hay $T$ -vectores cíclicos $u_1, . . . , u_n$ en $U$ de los periodos respectivos $1, . . . , n.$

Sé que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $T$ un operador nilpotente con índice de nilpotencia igual a dim $V$ entonces $T$ es cíclico.

Estoy resolviendo el ejercicio del libro lo que tengo que hacer aquí no lo entiendo. Por favor, dame una pista.

Answer 1

Sugerencia: A medida que el grado de $T$ es exactamente la dimensión de $U$ debemos tener $\dim \text{Ker}\, T^j = j$ para todos $j=1,2,\dots,n$ . Elige $u_j\in \text{Ker}\, T^{n-j}$ tal que $u_j\notin \text{Ker}\, T^{n-j-1}$ y obtenemos el resultado.