¿Problema de cálculo de la integración de Lebesgue?

Question

Sea $f:[0,1]\to \Bbb R$ sea una función acotada y medible de Lebesgue que satisface $$\int_{[0,1]}f(x)x^kdx=\frac{1}{(k+2)(k+3)}=\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3} $$ para cada $k\in \Bbb N \cup{0}$ . Demuestre que $f(x)=x-x^2$ en casi todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue) en $[0,1]$ .

Este problema parece obvio por cálculo. No sé por dónde empezar. No encuentro ningún teorema de integración de Lebesgue que pueda utilizar. ¿Podría alguien darme una pista? Gracias.

Answer 1

Podemos relajar el supuesto de acotación. Supongamos que $f\in L^1(0,1)$ y la condición integral se cumple para todo $k=0,1,\dots $ Sea $g(x) = f(x)-(x-x^2).$ Entonces $\int_0^1g(x)x^k\,dx = 0$ para todos $k.$ Por lo tanto $\int_0^1g\cdot p = 0$ para todos los polinomios $p.$

Si $h$ es continua en $[0,1],$ entonces por Weierstrass hay una secuencia de polinomios $p_n \to h$ uniformemente. Un simple argumento DCT muestra entonces $\int_0^1g\cdot h = 0.$

Defina $s(x) = x/|x|, x \ne 0,s(0) = 0.$ Entonces $s(g(x))$ está acotada y es medible en $[0,1].$ Por tanto, por un conocido corolario del teorema de Lusin, existe una secuencia $h_n\in C([0,1]), |h_n(x)|\le 1$ para $x\in [0,1],$ tal que $h_n(x) \to s(g(x))$ a.e. Por la DCT, obtenemos

$$\int_0^1|g| = \int_0^1 g\cdot s(g) = \lim_{n\to \infty}\int_0^1g\cdot h_n =0.$$

Así $g=0$ a.e.

Answer 2

Si fijamos $g(x)=f(x)-\left(x-x^2\right)$ tenemos que $g(x)$ es una función medible y acotada para la cual: $$\forall k\in\mathbb{N},\qquad \int_{0}^{1} g(x)\,x^k\,dx = 0.\tag{1}$$ La línea anterior implica: $$\forall n\in\mathbb{N},\qquad \int_{0}^{1} g(x)\,P_n(2x-1)\,dx = 0,\tag{2}$$ donde $P_n(2x-1)$ es el $n$ -th polinomio de Legendre desplazado .

Dado que los polinomios de Legendre desplazados son una base ortogonal de $L^2(0,1)$ con respecto al producto interior estándar $\langle u,v\rangle = \int_{0}^{1}u(x)v(x)\,dx$ explotando la identidad de Parseval y $(2)$ obtenemos: $$ \int_{0}^{1}g(x)^2\,dx = 0, \tag{3}$$ de la cual $g\equiv 0$ casi en todas partes.

Answer 3

Es fácil de demostrar. Sabemos que si $\int_A (f-g)d\mu=0$ entonces $f=g\hspace 3mm a.e. on A$ entonces tenemos que demostrar que $$\int_{[0,1]}(f(x)-(x-x^2))x^kdx=0$$ Pero tenemos $$\int_{[0,1]}((x-x^2)x^k)dx=\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}$$ Así que el problema está resuelto.