Puntos fijos de homotopía de una unión

Question

Para los espacios G se tiene la propiedad de que los puntos fijos de una unión de dos espacios es la unión de los puntos fijos. Quiero demostrar un análogo para los puntos fijos de homotopía. ¿Es cierto que $$ X^{hG} \ast Y^{hG} \simeq (X\ast Y)^{hG} $$ donde $(-)^{hG}$ significa puntos fijos de homotopía.

Answer 1

Efectivamente, no es cierto. Vamos a $G = \mathbb{Z}$ y que $X = Y$ sea el conjunto de dos elementos con la acción de $\sigma$ el generador de $\mathbb{Z}$ alternando los dos puntos. Para un espacio $Z$ con un $<\sigma> = \mathbb{Z}$ acción, un punto $z \in Z^{h\mathbb{Z}}$ es lo mismo que un punto $z_0 \in Z$ y una ruta entre $z_0$ y $\sigma(z_0)$ . Así pues, tenemos $X^{hG} = Y^{hG}= \emptyset$ y así $X^{hG} \star Y^{hG} = \emptyset$ . Sin embargo, $X \star Y \sim S^1$ . Desde $S^1$ es un camino conectado tenemos $(S^1)^{hG} \neq \emptyset$ .