Valor de $\lim_{n\to\infty}{(1+\frac{2n^2+\cos{n}}{n^3+n})^n}$

Question

¿Cómo se debe ir sobre la computación $$\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{2n^2+\cos{n}}{n^3+n}\right)^n}\quad?$$ Lo que me sorprendió es que $$\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{2n^2+\cos{n}}{n^3+n}\right)^\frac{n^3+n}{2n^2+\cos{n}}}=1$$(according to wolfram), instead of $e$, que es lo que yo esperaba. Podría alguien comentar sobre eso también?

Answer 1

Sugerencia: Muestre que $$ \lim _{n \to \infty } n\ln \bigg(1 + \frac{{2n^2 + \cos n}}{{n^3 + n}}\bigg) = 2. $$

Elaboración: $$ n\ln \bigg(1 + \frac{{2n^2 + \cos n}}{{n^3 + n}}\bigg) = n\ln \bigg(1 + \frac{{2 + \cos (n)/n^2 }}{{n + 1/n}}\bigg) = na_n \frac{{\ln (1 + a_n )}}{{a_n }}, $$ donde $$ a_n = \frac{{2 + \cos (n)/n{}^2}}{{n + 1/n}}. $$ Tomando nota de que $a_n \to 0$ $n \to \infty$ y $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1/(1 + x)}}{1} = 1, $$ llegamos a la conclusión de que $$ \lim _{n \to \infty } \frac{{\ln (1 + a_n )}}{{a_n }} = 1 $$ y, a su vez, $$ \lim _{n \to \infty } n\ln \bigg(1 + \frac{{2n^2 + \cos n}}{{n^3 + n}}\bigg) = \lim _{n \to \infty } na_n = \lim _{n \to \infty } n\frac{{2 + \cos (n)/n^2 }}{{n + 1/n}} = 2. $$ Por lo tanto, $$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \bigg(1 + \frac{{2n^2 + \cos n}}{{n^3 + n}}\bigg)^n = e^2 . $$

Answer 2

Vamos a considerar el caso más general de una función arbitraria. Entonces tenemos el siguiente teorema:

Teorema: Dada una función de $g(n)$ tal que $g_0=\lim_{n\rightarrow \infty} g(n)$ existe, tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{g(n)}{n}\right)^n=e^{g_0}.$$

Ejemplo: En particular, para su pregunta anterior, $g(n)=\frac{2n^2+\cos(n)}{n^2+1}$, por lo que el $g_0 =2$, y de ahí el valor del límite original es $e^2$.

La prueba del teorema: Vamos a $f(n)=\frac{g(n)}{g_0}$, de modo que $f(n)=1+o(1)$. Entonces a partir de la $\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a$ vemos que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{g(n)}{n}\right)^\frac{n}{f(n)}=e^{g_0}.$$ Then, because $f(n)=1+o(1)$, it follows that $\frac{n}{f(n)}=n+o(n)$. But, $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{O(1)}{n}\right)^{o(n)}=1,$$ so we conclude that $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{g(n)}{n}\right)^n=e^{g_0}.$$

Espero que le ayude,

Answer 3

Lo que debes usar es que $$ \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$$

Entonces, si usted tiene que calcular el $\lim_{n \to \infty} x_n^{y_n}$ donde $x_n \to 1$ $y_n \to \infty$ prosiga de la siguiente manera:

• Denotar $a_n=x_n-1$$a_n \to 0$.

• Ahora tienes que calcular el $\lim_{n \to \infty} (1+a_n)^{y_n}$.

• Transformar el exponente de modo que se obtiene el $e$-límite presentados anteriormente: $$ \lim_{n \to \infty} ((1+a_n)^{\frac{1}{a_n}})^{a_n y_n} =e^L$$ donde $\displaystyle L=\lim_{n \to \infty}a_n y_n$, que generalmente es bastante simple de calcular.