Derivados distributivos

Question

Necesito calcular derivadas como distribuciones de las siguientes funciones:

$f(x) =$

1. $|x|$
2. $|x^2 - 1|$
3. $\mathrm{sgn}(x)$
4. $4$

Dónde $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

ad 1) $|x|$ es continua, por lo que pertenece a $L^1_{loc}(\Omega) \Rightarrow$ existe su derivado.

Lo sé, eso

$$ \left< F', \phi \right> = - \left< F, \phi' \right> = -\int_\Omega f(x) \varphi'(x) dx $$

Así que ahora, estoy tratando de calcular la derivada de $|x|$ :

\begin{align} - \left< F, \varphi' \right> &= - \int_\Omega |x| \varphi'(x) dx \\ &= - \int^0_{- \infty} -x \cdot \varphi'(x) dx - \int^{\infty}_0 x \cdot \varphi'(x) dx \\ &= \left[ x \cdot \varphi(x) \right]^0_{- \infty} - \int^0_{- \infty} 1 \cdot \varphi(x) dx - \left[ x \cdot \varphi(x) \right]^{+ \infty}_0 + \int^{+ \infty}_0 1 \cdot \varphi(x) dx \end{align}

Y aquí estoy irremediablemente perdido. Se supone que el resultado es

$$ \int^{+ \infty}_{- \infty} g(x)\varphi(x) dx, $$

donde

$$ g(x) = \begin{cases} 1, & x>0\\ -1, & x< 0 \end{cases}, $$

pero no tengo ni idea de cómo debo proceder. Ej.

$$ \left[ x \cdot \varphi(x) \right]^0_{- \infty} = 0 - \left( -\infty \cdot \varphi(-\infty) \right) $$

se supone que es $0$ pero aún así, no tengo ni idea de por qué...

Entonces, ¿podrías, por favor, describirme, cómo calcular esta derivada de una distribución y explicarlo un poco?

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Edita:

Ok, Gracias a la respuesta de Zachary Selk entiendo porque el resultado de los corchetes es 0. Entonces tenemos solo la suma de las dos integrales restantes:

\begin{align} - \int^0_{- \infty} 1 \cdot \varphi(x) dx + \int^{\infty}_{0} 1 \cdot \varphi(x) dx &= \int^0_{- \infty} -1 \cdot \varphi(x) dx + \int^{\infty}_{0} 1 \cdot \varphi(x) dx\\ &= \int^{\infty}_{- \infty} g(x) sgn(x) dx\\ g(x) &= \begin{cases} 1, & x > 0\\ -1, & x < 0 \end{cases} \end{align}

Ok, soy capaz de entender esto.

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ad 2)

$$ |x^2 - 1| = \begin{cases} x^2 - 1, & x < -1\\ 1 - x^2, & x \in \left< -1;1 \right>\\ x^2 -1, & x > 1 \end{cases} $$

Puedo ver, que cuando $x < -1$ o $x > 1$ la integral no converge. Por lo tanto, la única que queda por calcular es

\begin{align} \int^{1}_{-1} (1-x^2) \varphi'(x) dx &= 2 \int^1_0 (1-x^2)\varphi'(x) dx\\ &= 2 \left( [(1-x^2)\varphi(x)]^1_0 - \int_0^1 -2x \cdot \varphi(x) dx \right)\\ &= -2 \varphi(0) +4 \int^1_0 x \varphi(x) dx \end{align}

Y aquí me vuelvo a perder, creo que solo per partes no me va a ayudar con esta integral.

Answer 1

Pista: Recuerde que $\varphi \in S(\Bbb{R})$ o $\varphi \in C_c^{\infty}(\Bbb{R})$ . En cualquier caso $\lim\limits_{x\to\pm\infty} x\varphi(x)=0$